ગણિત

યુક્લિડ, ગ્રીક ગણિતજ્ઞ, ઇ.પૂ. ૩જી સદી, રાફેલની કલ્પના મુજબનું ચિત્ર વિગતો The School of Athensમાંથી.

ગણિત જથ્થા, માળખાં, અવકાશ અને વધઘટનો અભ્યાસ છે. ગણના, ગણત્રી માપણીથી શરૂઆત કરીને નિષ્કરણ અને તર્કશાસ્ત્ર ગણિતના વિકાસના મુખ્ય પડાવો છે.

ગણિતને સદીઓથી એક ફિલસુફી તરીકે જોવામાં આવે છે. પ્લુટો અને તેમના જેવા ઘણા મહાન ગણિતજ્ઞોની ગણના ફિલસુફ તરીકે વધુ થાય છે. વિજ્ઞાનના વિકાસની સાથે ગણિત એ વિજ્ઞાનની ભાષા તરીકે ઊદય થયો. ગણિતને અત્યાર સુધી નેચરલ વિજ્ઞાન, ઍન્જીયરીંગ અને ભૌતિકશાસ્ત્રના પાયા તરીકે જોવામાં આવતું હતું પણ બાયો-ટેક્નોલોજી અને કમ્પ્યુટરના આવિષ્કારમાં ગણિતનો ફાળો જોઇને હવે તેને વિજ્ઞાનની તમામ શાખાઓના પાયા તરીકે સ્વીકારવામાં આવ્યા છે.

ગણિતનો અંગ્રેજી શબ્દ "mathematics" એ ગ્રીક શબ્દ μάθημα (máthema) એટલે કે "વિજ્ઞાન" અને μαθηματικός (mathematikós) એટલે કે "શીખવાની ઈચ્છા રાખનાર" પરથી આવ્યો છે. ગણિતને અંગ્રેજીમાં ટૂંકમાં maths (Commonwealth Englishમાં) અથવા math (American Englishમાં) કહેવાય છે.

ગણિત નો ઇતિહાસ

સંખ્યા માટે ઇન્કા સા્મ્રાજ્ય દ્વારા વપરાયેલ ખીપુ.

બે સફરજન અને બે સંતરા વચ્ચે કંઈક સામ્યતા છે, કે બન્ને ફળો એક અને માત્ર એક જ માણસના હાથમાં પકડી શકાય છે, એ સમજણ માણસની વિચારશક્તિના વિકાસમાં એક હરણફાળ હતી. આ સમજણ વડે માનવ દરેક પ્રશ્નને અલગ અલગ વિચારતો થયો અને દરેક હેતુ માંથી જરૂરી સંકલ્પનાઓ તારવતો થયો અને આમ્ ગણિત નો વિકાસ થતો ગયો.

માયા અંકો

પ્રાગૈતિહાસિક માનવને મૂર્ત વસ્તુઓની ગણતરી કરતા આવડવા ઉપરાંત અમૂર્ત વસ્તુઓ જેમ કે સમય -- દિવસો, ઋતુઓ, વર્ષો વગેરેની ગણતરી કરતા પણ આવડતું હતું. ગણતરી કરવાનું આવડવાથી ધીરે ધીરે માનવી અંકગણિત ( સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર) પણ શીખી ગયો. આ સુસ્પટ છે કે ફક્ત ગણતરી કરવાથી કે સરવાળા બાદબાકી કરવાથીજ ગણિતનો વિકાસ થયો નથી પરંતુ આંકડાઓ અને તેમની કિંમતો સ્પષ્ટ થયા પછી ખરેખરુ ગણિત વિકાસ પામ્યું છે. કદાચ આપણાં વડવાઓએ કોઇ દિવસ દિવાલ કે લાકડુ ખોતરીને પહેલો આંકડો પાડ્યો હશે.

ઐતિહાસિક વિગતો પરથી જાણવા મળ્યું છે કે, મુખ્ય ભણવાના વિષયોમાં ગણિતનો પ્રયોગ કરવો પડતો હતો જેમકે વ્યાપાર-વાણીજ્ય, જમીનની માપણી અને ખગોળ શાસ્ત્ર. આ ત્રણેય જરૂરિયાતોને લીધે ગણિતનો વિકાસ થયો જેને મોટા મોટા ત્રણ ભાગમાં વહેંચી શકાય: "માળખુ", "સ્થાન" અને "બદલાવ".

ઇ.સ્.પૂર્વે ૧,૦૦૦ અને ઇ.સ્. ૧,૦૦૦ વચ્ચે લખાયેલાં વિવિધ સંદર્ભોમાં પ્રથમ વખત ભારતતીય ગણિત શાસ્ત્રીઓએ શૂન્ય, બીજ ગણિત, પ્રમેયો (ગણતરી માટેનાં વિવિધ નિયમો), સંખ્યાઓનાં વર્ગમૂળ અને ઘનમૂળ, વિગેરેનો ઉપયોગ કર્યાનાં ઉલ્લેખો છે. જેને વૈદિક ગણિત તરિકે ઓળખવામં આવે છે, અને આ વૈદિક ગણિત આજે પણ ભારત બહારની ઘણી બધી કોલેજો અને યુનિવર્સિટિઓમાં શિખવવામાં આવે છે.

પ્રેરણા - કેવળ તથા વ્યવહારુ ગણિત

સર આઇઝેક ન્યુટન (૧૬૪૩-૧૭૨૭), ઇન્ફાઇનાઇટ્સિમલ કેલ્ક્યુલસના શોધક.

જ્યારે જ્યારે પ્રશ્ન તર્ક ની કસોટીએ ચડે છે ત્યારે ત્યારે ગણિત પ્રશ્નનો ઉત્તર આપવા આગળ આવે છે. શરુઆતમાં કૃષિ, વ્યાપાર, માપણી તથા અન્ય રોજબરોજની પ્રવૃત્તિઓમા ગણિતનો ઊપયોગ થતો હતો જે ધીરે ધીરે વૈજ્ઞાનીક પધ્ધતિ રુપે વિકસિત થયું છે.

આજકાલ ગણિત વિજ્ઞાનમાંથી પણ પ્રેરણા મેળવે છે અને ઘણા ભૌતિક વૈજ્ઞાનિકો પણ આ ક્ષેત્રે કામ કરે છે. ન્યૂટન (કેલ્ક્યુલસ), ફેયનમેન(ફેયનમેન પાથ ઇન્ટિગ્રલ)વગેરે ઘણી મહાન હસ્તિઓ આના જ્વલંત ઉદાહરણો છે. આમાથી ઊદ્ભવતુ ગણિત વિષય વસ્તુ ને લગતુ છે અને તેથી તે વિષયના પ્રશ્નો હલ કરવામા મદદ કરે છે. આમ્ ગણિત વિવિધ રૂપમા ઉપયોગી બને છે. ગણિતના જ્ઞાનમા વ્રુદ્ધિ સાથે, ગણિત પોતે પણ પ્રેરણા સ્ત્રોત બન્યુ છે. ગણિત પોતની આંતરિક સુન્દરતા ને લીધે પણ વિદ્વાનોમાં લોકપ્રિય બન્યુ છે. ગણિત શાસ્ત્રિયો સાદાઈ અને સમાનતા ને ખૂબ મહત્વ આપે છે અને જ્યારે આ મેળ ન ખાતી આવ્રુત્તિઓ ગણિતમા ભેગી આવે ત્યારે સામાન્ય ગણત્રીઓમાં મદદરૂપ થાય છે. આવા મેળ ને ગણિતમા સૌન્દર્ય કેહવાય છે.

ગણિતનાં ઘણાં પરીણામોની પ્રેરણા પ્યોર મેથ્સનાં જુદા જુદા અંગોમાંથી આવતી હોવાથી, સામાન્યતઃ ઘણાં ગાણિતિક પરીણામોનો વ્યવહારુ ઉપયોગ ન હોવાની અને ગણિતજ્ઞો ફક્ત તેની સુંદરતા માટે જ કામ કરતા હોવાની છાપ સમાજમાં પ્રવર્તે છે. જોકે, એમાં જરાય આશ્ચર્ય નથી કે કેવળ ગણિતનાં ઘણાં પરીણામોનો તેમની શોધ પછી દાયકાઓ બાદ એવો સુંદર ઉપયોગ થયો છે કે તે પછી તેમને એપ્લાઇડ ગણિત (વ્યવહારુ ગણિત) તરીકે ગણવામાં આવે છે. આનો તાજો દાખલો, જ્યોર્જ બુલ દ્વારા શોધાયેલ અને બુલીય બીજગણિત તરીકે ઓળખાતી ગણિતની શાખા છે, જેના કારણે કમ્પ્યુટરમાં સરકીટમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે. બુલીય બીજગણિત સિવાય કમ્પ્યુટરની કલ્પના પણ શક્ય નહોતી.

સંકેતો,ભાષા અને તટસ્થતા

જુદા જુદા અક્ષરોમાંઇન્ફીનીટી∞નું ચિહ્ન.

ગણિતવિદ્વાનો બને તેટલી સરળતા અને પારદર્શક્તા થી વસ્તુઓ પ્રસ્તુત કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે અને ખાસ કરીને તે તેમના લખાણમાં આનો ખૂબ આગ્રહ રાખે છે. આને ગણિતની રીગર કહેવાય છે. ગણિતજ્ઞોએ સામાન્ય ભાષાને ચોકસાઇપૂર્વકના પારીભાષિક, વ્યાકરણની વધુ સ્પષ્ટતા અને ચિન્હો ઉમેરી વિસ્તારી છે જેથી ગણિતની દરેક શાખામાં ગાણિતિક પદાર્થ (object), ચિહ્નો (symbols) અને તેમની વચ્ચેના સંબંધો ત્રુટી રહિત દર્શાવી શકાય. ગણિતમાં વપરાતા પારીભાષિક શબ્દો વ્યવહારમાં પણ વપરાતા હોય છે. જેમકે ગણ, સમુહ અને અવકાશ પણ સામાન્ય રીતે તેમના અર્થ ગણિતમાં કાંઇક વિશિષ્ટતા સાથે જોડાયેલ હોય છે. બીજી તરફ અમુક પારિભાષિક શબ્દો ગણિતની બહાર અર્થ વિહિન હોય છે, જેમકે હોમોટોપી, હોમોમોરફીઝમ, વિકલન, શ્રેણિક. ઘણી વખત ગણિતમાં એવા દાવા થયા છે કે જે સમય જતાં ખોટા સાબિત થયા હોય. જેમ કે ફર્માએ એવો દાવો કર્યો હતો કે ૨ના કોઇપણ ઘાતમાંથી એક બાદ કરો તો અવિભાજ્ય સંખ્યા મળે. વળી પહેલાં એમ્પીરીકલ ગણિત તેમજ વ્યવહારુ ભાષાના અયોગ્ય સમન્વયથી પણ ગણિતમાં ખોટા પરીણામો સાબીત થયાના બનાવો બન્યા છે. આમ થતું અટકાવવા માટે ગણિતમાં યુક્લિડે અને તેના સમયના યુનાની (ગ્રીક) ગણિતજ્ઞોએ ડીડક્ટીવ રીઝનીંગથી ગણિતમાં પરીણામો સાબીત કરવાની પ્રથાની શરૂઆત કરી. આ પદ્ધતિમાં સૌ પ્રથમ તો સર્વગ્રાહી સત્યનો પૂર્વધારણા તરીકે સ્વીકાર કરવામાં આવે અને તેના ઉપરથી નવાં પરીણામો તારવવામાં આવે. હિલ્બર્ટે એવો પ્રસ્તાવ મૂકયો કે ગણિતના સર્વે પરીણામો પૂર્વધારણા અને તેના તાર્કિક ફલનના સ્વરૂપે મુકવા. આ મહત્વકાંક્ષી પ્રકલ્પને હિલ્બર્ટ પ્રોગ્રામ તરીકે જાણીતો છે. જો કે જ્યારે ગોડેલનું ઇનકમ્પલીટ પ્રમેય દ્વારા જાણીતા એક પરીણામને લીધે આ પ્રકલ્પ ન તો પુરો થઇ શક્યો કે ન તો ભવિષ્યમાં પુરો થશે. ગોડેલના આ પ્રમેય મુજબ કોઇ પણ એક્ષોમેટિક પદ્ધતિ (પૂર્વધારણા પર આધારીત ડીડકટીવ પ્રણાલી)માં અનિર્ણિત વિધાનોનુ અસ્તિત્વ આવે જ. આમ એક્ષોમેટિક ગણિત સ્વયંઘાતી વિધાનો (contradiction) વગર શક્ય નથી. ટુંકમાં કહીએ તો કોઇપણ રીતે ગણિતમાં એવાં વિધાનો રહેવાનાં જ કે જે ન તો ખોટાં માની શકાય કે ન સાચાં પુરવાર કરી શકાય. વળી બીજી તરફ ગણિતમાં એવી દ્રઢ માન્યતા પ્રવર્તતી કે ગણિતની કોઇ પણ એક્ષોમેટિક પદ્ધતિ છેવટે તો ગણ સિદ્ધાંતમાંથી જ અવતરે અને તેના મૂળ પણ ગણ સિદ્ધાંતમાં જ હોય. હાલમાં ૨૦મી સદીમાં ઍલન કોન્સના (Alain Connes) નવા આવિષ્કારને લીધે હવે ગણ સિદ્ધાંતથી ન જાણી શકાય તેવા ગણિતનો અભ્યાસ ખૂબ વિક્સ્યો છે.

ગણિત વિજ્ઞાન ની રાણી

કાર્લ ફેડરીક ગાઉસ, જેને "ગણિતનો રાજકુમાર" કહેવાય છે, તે ગણિતને "વિજ્ઞાનની રાણી" ગણતા.

કાર્લ ફેડરીક ગાઉસ ગણિતને વિજ્ઞાનની રાણી કહેતા. વિજ્ઞાન માટેનો અંગ્રેજી શબ્દ Science લેટિન ભાષાના scientia અથવા ફ્રેન્ચ ભાષાના science,શબ્દો ઉપરથી આવ્યો છે. મૂળ બંને ભાષામાં તેનો અર્થ જ્ઞાન થાય છે. આમ મૂળભુત ભાષાના સંદર્ભમાં, અંગ્રેજીના સંદર્ભમા તો ગણિતને વિજ્ઞાન તરીકે જોવાય છે પણ હિન્દુ સંસ્કૃતિમાં પણ ગણિત એક વિજ્ઞાન ગણાય છે. વિજ્ઞાનને સ્પેશિયલાઇઝેશનના અર્થમાં જોવાની પ્રણાલિ બહુ જુની નથી. જો સાયન્સને આવા અથવા તો ભૌતિકીય વિજ્ઞાનો પુરતું સીમિત કરી દઇએ તો તેને વિજ્ઞાન ન કહેવાય, ખાસ કરીને પ્યોર ગણિત તો નહીં જ. બીજી તરફ વીસમી સદીના અંતમા ઉપર દર્શાવ્યા પ્રમાણે એલન કોન્સના ગણિતમાં પ્રદાન દ્વારા ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સની સાથે બીજા ઘણા ભૌતિક વિજ્ઞાનોને સમજવા ગણિત સિવાય બીજો કોઇ રસ્તો જ નથી આમ ગણિત એ વ્યાપક અર્થમાં વિજ્ઞાનની નવી ભાષા તરીકે પણ ગણાય છે. વીસમી સદીના પૂર્વાર્ધ સુધી ગણિત સામાન્યતઃ ભૌતિક વિજ્ઞાન અને ઇજનેરીવિદ્યામાં વપરાતું પણ વીસમી સદીના ઉત્તરાર્ધમાં તેનો ઉપયોગ ભાષાવિજ્ઞાન, જીવવિજ્ઞાન, અર્થશાસ્ત્ર જેવી જ્ઞાનની શાખાઓમાં ગણિતનો અનિવાર્ય ઉપયોગ પ્રસ્થાપિત થતાં હવે ગણિત જ્ઞાનની શાખાઓમાં સર્વોપરી બની ગયું છે. બીજી તરફ, બેલ

મહાન વૈજ્ઞાનિકોના ગણિત વિશેના વિધાનો પણ જાણવા જેવા છે. આલ્બર્ટ આઇનસ્ટાઇનના કહેવા મુજબ"જયારે જ્યારે ગણિતના નિયમો વાસ્તવિકતાની વાત કરે છે, ત્યારે ત્યારે તેમાં ચોકસાઇનો અભાવ હોય છે, અને જ્યારે ગણિત ચોકસાઇપૂર્વક કાંઇક કહે છે ત્યારે તે વાસ્તવિકતાની વાત કરી શકતું નથી."

ઘણાં તત્વચિંતકો માને છે કે ગણિતમાં પ્રાયોગિક ચકાસણીનો અભાવ છે અને તેથી તે કાર્લ પોપર.ની વ્યાખ્યા મુજબ વિજ્ઞાન નથી. જો કે, ૧૯૩૦ના દાયકામાં ગાણિતિક તર્કની દિશામાં થયેલા મહત્વના કામ પછી કાર્લ પોપરે પોતાની માન્યતા બદલતાં કહ્યું કે, "ભૌતિકવિજ્ઞાન, જીવવિજ્ઞાન તેમજ અન્ય વિજ્ઞાનોની જેમજ ગણિતની મોટા ભાગના સિદ્ધાંતો પણ hypothetico-deductive છે તેથી પ્યોર ગણિત પણ કુદરતી વિજ્ઞાન છે."

બીજી તરફ મોટા ભાગના ગણિતજ્ઞોની લાગણી અને માન્યતા આ બધા કરતાં જુદી પડે છે. તેઓ માને છે કે ગણિતને વિજ્ઞાન ગણવાથી તેની મહત્તામાં આંચ આવે છે, તે ગણિતને અન્યાયકર્તા છે, તેથી ગણિતની આંતરીક સુંદરતા મરી પરવારે છે અને સાત કળાઓ પૈકી એક તરીકે ઇતિહાસમાં જેની ગણના થઇ છે તેનો ઉપહાસ કરી ગણિતના ઇતિહાસનું મહત્વ ઘટાડે છે. ગણિત તો એક કળા છે. વળી ઘણા ગણિતજ્ઞોના મત મુજબ ગણિત અને વિજ્ઞાનના સમન્વયની અવગણના કરીને આપણે ગણિતને પોતાને વિજ્ઞાન દ્વારા વિકસવાની જે તક મળી તેની સામે એક આંખ મીચામણાં કરી રહ્યા છીએ. આમ ગણિત એ રચના કરેલી (કળા) છે કે કુદરતમાં શોધાયેલુ વિજ્ઞાન છે, તેની ચર્ચા તત્વચિંતનનો એક મોટો અને કાયમનો મુદ્દો છ.

ગણિતના પારીતોષિકો/ખિતાબો (awards) સામાન્યતઃ વિજ્ઞાનથી અળગાં હોય છે. ગણિતનો સૌથી વધુ મહત્તા ધરાવતું પારીતોષિક ફિલ્ડ મેડલ, ૧૯૩૬માં સ્થાપવામાં આવ્યું હતું અને હવે દર ચાર વર્ષે ૪૦ વર્ષથી નીચેના કોઇક ગણિતજ્ઞને એનાયત થાય છે. તેને ગણિતના નોબલ પુરસ્કાર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ૧૯૭૮માં સ્થપાયેલું વુલ્ફ પારીતોષિક ગણિતશાસ્ત્રીઓના જીવનકાળ દરમ્યાનમાં તેમના યોગદાન માટે એનાયત કરવામાં આવે છે. આ સિવાય બીજા નામના ધરાવતા પારીતોષિકોમાં અબેલ પારીતોષિક(સ્થાપના ૨૦૦૩) છે. આ પારીતોષિક ગણિતના ઘણા સમયથી વલઉક્લ્યા પ્રશ્નોના ઉકેલ મેળવનારને અપાય છે. આવા જ ૨૩ વણઉકલ્યા પ્રશ્નોની યાદી જર્મન ગણિતજ્ઞ ડેવિડ હિલ્બર્ટે ૧૯૦૦માં સંપાદિત કરી હતી જે "હિલ્બર્ટના પ્રશ્નો" તરીકે ખૂબજ પ્રખ્યાત છે. આ યાદીના લગભગ ૯ જેટલા પ્રશ્નો અત્યાર સુધીમાં ઉકેલી શકાયા છે. આ સિવાય "[w:en:Millennium Prize Problems]]" તરીકે જાણીતી યાદીનું સંપાદમ સન ૨૦૦૦માં કરવામાં આવ્યું છે. આ પૈકીના કોઇપણ પ્રશ્નનો ઉકેલ આપનારને દસલાખ અમેરીકી ડૉલરનું પારીતોષિક અપાય છે. રીમાન હાઇપોથીસિસ નામનો ખૂબ જ અગત્યનો પ્રશ્ન આ યાદી અને હિલ્બર્ટના પ્રશ્નોમાં બન્નેમાં સામેલ છે.

ગણિત ના વિભાગો નૂ વિહંગાવલૌકન

નાઇલ નદીના કિનારે અંદાજે ૨૦,૦૦૦ વર્ષ પુરાણી સંસ્કૃતિમાં ગણિત જાણીતું હોવાનુ મનાય છે. આ લોકોમાં સ્ત્રીઓ પોતાના માસિકની ગણત્રી માટે અમુક હાડકા પર કાપા કરીને ગણત્રી રાખતી. ત્યાર બાદની સંસ્કૃતિઓમાં ગણિતની મુખ્યત્વે જરૂરીયાત ખેતી, વ્યાપાર અને સૈન્યમાંથી આવી છે. સૌ પ્રથમ તો મનુષ્ય પશુને મારીને ખોરાક મેળવતો. પણ નદી કિનારે જે જે સંસ્કૃતિ વિકસી તે લોકો ખેતી અને પશુ દ્વારા પોતાનો ખોરાક મેળવતા. આ માટે તેમને ઋતુઓની ગણત્રી તેમજ જમીનની માપણી વિગેરેમાં ગણિતની જરૂર ઉભી થઇ. આમ પરોક્ષ રીતે ખગોળશાસ્ત્ર પણ ગણિતના જનક તરીકે ઓળખાય છે. ગણિતમાં માનવીના પ્રદાનના સૌથી જુના પ્રમાણિત પુરાવા આશરે ઇ.પૂ. ૩૦૦૦-૨૬૦૦ની ભારતમાં વિકસેલી હરપ્પા સંસ્કૃતિ તેમજ મિસોપોટામિયા/બેબીલોન (આજના ઇરાકની આજુ બાજુનો ભાગ)માં વિકસેલી સુમેર સંસ્કૃતિ ઇ.પૂ. ૨૬૦૦ તેમજ આશરે ઇ.પૂ. ૨૭૦૦-૧૩૦૦માં વિકસેલી ઇજીપ્તની સંસ્કૃતિમાં જોવા મળે છે. એરિક ટેમ્પલ બેલ જેવા ગણિતના ઇતિહાસકારોના મતે ગણિત તેની બે મુખ્ય શાખાઓ -- સંખ્યા અને આકાર--માંથી વિક્સ્યુ છે. કાળક્રમે સંખ્યામાંથી બીજ ગણિત અને આકારમાંથી ભૂમિતિનો જન્મ થયો.

માળખાંઓના અભ્યાસની શરૂઆત સંખ્યાઓથી થાય છે, જેમાં સૌ પ્રથમ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ ત્યાર બાદ પૂર્ણાંકો અને તેમની દ્વિકક્રિયાઓ આવે છે. પૂર્ણાંકોનો વધુ ગહન અભ્યાસ નંબર થીયરી અહીંથી આગળ વધતાં સમીકરણોના ઉકેલ મેળવવાની પ્રક્રિયામાંથી બીજ ગણિત અને અમૂર્ત ગણિતનો વિકાસ થયો. આમાં મુખ્યત્વે સમુહ (groups), મંડળ (rings), ક્ષેત્ર (Fields) ઇત્યાદિનો સમાવેશ થાય છે. આ શાખાના ની ઉપશાખા ગાલ્વા થીયરીના કારણે ગ્રીક કાળથી વણઉક્લ્યો કંપાસની મદદથી રચના કરવાને લગતો જાણીતો પ્રશ્ન હલ થયો. ભૌતિકવિજ્ઞાનના સદિશ (vector)ના અભ્યાસનું વ્યાપકીકરણ (generalization) કરી સદિશાવકાશની શોધ કરી. આમ સુરેખ ગણિત (Linear Algebra)નું અસ્તિત્વ ઉભું થયું જે માળખું અને અવકાશ બન્નેમાં આવે છે. સુરેખ ગણિત અને સદિશાવકાશની સાથે વખત જતાં ટોપોલોજી જોડતાં વીસમી સદીમાં ગણિતના મોરની કલગીની જેમ ફંક્શનલ એનાલિસીસનો જન્મ અને વિકાસ થયો.

અવકાશના અભ્યાસની શરૂઆત ભૂમિતિથી થઇ. સૌ પ્રથમ આવી તે ભૂમિતિ યુક્લિડીયન ભૂમિતિના નામે ઓળખાય છે. હકીકતે ભૂમિતિ ભારતીયો, બેબીલોનિયનો તેમજ ઇજીપ્શીયનો જાણતા હતા પણ યુક્લિડે તેના અભ્યાસને સૌ પ્રથમ પૂર્વધારણાઓ અને તેના પરથી પરીણામોના ફલનની રીતે (deductive reasoning) વ્યવસ્થિત ઢાંચામાં મુક્યો. ગણિતજ્ઞોની મતે યુક્લિડે આપેલી બે સોગાદો -ભૂમિતિનું સંપાદન અને ડીડક્ટીવ રીઝનીંગ - પૈકી ડીડક્ટીવ રીઝનીંગની ભેટ સૌથી મહત્વની છે. અવકાશના અભ્યાસ દરમ્યાન સ્વતંત્ર રીતે ત્રિકોણમિતિ વિધેયોનો અભ્યાસ પણ વિકસ્યો. ત્રિકોણમિતિનો ઊંડો અભ્યાસ હિન્દુ ગણિતમાં જોવા મળે છે. યજ્ઞવેદી, તેમજ વાસ્તુશાસ્ત્ર પ્રમાણેના ધાર્મિક સ્થાપત્યો બનાવવા માટે ત્રિકોણમિતિનો આવિષ્કાર હિન્દુઓ દ્વારા થયો હોવાનું ગણિતના ઇતિહાસકારો માને છે. સલ્બસુત્ર તેમજ સ્થાપત્ય વેદમાં આ પ્રકારના ગણિત જોવા મળે છે.

ભૂમિતિના નવા આયામો માં ડિફરન્શિયલ ભૂમિતિ, એલ્જીબ્રીક ભૂમિતિ, નોનયક્લિડીય ભૂમિતિઓ, તેમજ એકદમ અરૂપ રીતે ટોપોલોજીનો સમાવેશ થાય છે.

ગણિતમાં ફેરફારના દરને કારણે જે ગણિતનો આવિષ્કાર થયો તે કેલ્કયુલસ શોધ ન્યૂટન તેમજ લાઇબ્નીઝના ફાળે જાય છે. કહેવાય છે કે ઇ.પૂ. ૨૮૭માં ગ્રીક ગણિતજ્ઞ આર્કિમીડિઝ પોતાના વખત કરતાં એટલો આગળ હતો કે તેણે કેલ્ક્યુલસના ઘણા પરીણામો તેના અભ્યાસમાં વાપર્યા હતાં. ન્યુટન માટે તેમ કહેવાય છે કે તેણે પોતાના જન્મ પહેલાં શોધાયેલા તમામ ગણિતના જ્ઞાન જેટલું નવું ગણિત રચ્યું હતું. કેલ્ક્યુલસ ના કારણે ગણિતના વિકાસનો દર ખૂબ જ વધી ગયો અને તે અન્ય વિજ્ઞાનોમાં પણ ખૂબજ વપરાવા લાગ્યું. હાલ ગણિતની લગભગ ૧૦૦૦ ઉપરાંત મુખ્ય શાખાઓ છે. કેલ્ક્યલસનો સૌથી પાયાની સંકલ્પના એટલે ચલ રાશિ અને વિધેય જે આજે ગણિતની તમામ શાખાઓમાં વપરાય છે. આ ચલ રાશિને અનુલક્ષીને વધુ અમૂર્ત સંકલ્પના એટલે ગણ. ગણ સિદ્ધાંતનો આવિષ્કાર ૧૮૭૦ની આસપાસ ડેડકિન્ડ તેમજ કેન્ટર નામના ગણિતજ્ઞોએ તેના ઔપચારિક ખ્યાલોને વ્યાખ્યાયિત કરીને કર્યો. ગણિતની પાયાની વધુ શાખાઓમાં વિકલીય સમીકરણો, સંકલીય સમીકરણો, વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, સંકર સંખ્યાઓ, તેમજ તર્કશાસ્ત્ર વિગેરેનો સમાવેશ થાય છે.

ગણિત ની મુખ્ય શાખાઓ

ગણિત ને લગતા પ્રકરણો ની યાદી આલ્ફાબેીકલ ઓર્ડર મા પ્રાપ્ય છે ગણિત ને લગતા પ્રકરણો ની યાદી. નિમ્નલિખિત વિષયો ની યાદી અને લિન્કસ ફક્ત સંક્ષિપ્ત િસ્તાર દર્શાવે છે. સમ્પુર્ણ માડખા માટે જૂઓ ગણિત ના વિસ્તારો અથવા ગણિત ને લગતા પ્રકરણો ની યાદીઓ ની યાદી.

જથ્થો

ગણિત ની શરૂઆત થાય છે સંખ્યાઓના જથ્થાઓના કે ગણોના માપન થી, અથવા આ પ્રકાર ના માપન કરવાની પધ્ધતિઓથી.

$1, 2, \ldots$	$0, 1, -1, \ldots$	$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0.125,\ldots$	$\pi, e, \sqrt{2},\ldots$	$i, 3i+2, e^{i\pi/3},\ldots$
પ્રાક્રુતિક સંખ્યાઓ	પુર્ણાંક સંખ્યાઓ	અપુર્ણાંક સંખ્યાઓ	વાસ્તવિક સંખ્યાઓ	શંકર સંખ્યાઓ

સંખ્યાઓ – પ્રાક્રુતિક સંખ્યાઓ – Integers – Rational numbers – Real numbers – Complex numbers – Hypercomplex numbers – Quaternions – Octonions – Sedenions – Hyperreal numbers – Surreal numbers – Ordinal numbers – Cardinal numbers – p-adic numbers – Integer sequences – Mathematical constants – Number names – Infinity – Base

પરિવર્તન

ગાણિતિક વિધેયના અને સંખ્યાઓ ના પરિવર્તનને વ્યક્ત કરવાની પધ્ધતીઓ.

$36 \div 9 = 4$			$\int 1_S\,d\mu=\mu(S)$
અંક ગણિત	કલન શાસ્ત્ર	સદિશ કલન શાસ્ત્ર	ગાણિતિક વિશ્લેષણ
$\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c$
વિકલ સમીકરણ	ગતિમય તંત્ર	અવ્યવસ્થા(કેઓસ્)નો સિધ્ધાંત્

અંક ગણિત્ – કલન શાસ્ત્ર – સદિશ કલનશાસ્ત્ર્ – ગાણિતિક વિશ્લેષ્ણ્ – વિકલ સમીકરણ – ગતિમય તંત્ર – અવ્યવસ્થાનો સિધ્ધાંત – વિધેયો ની યાદી

માળખુ

નિમ્નલિખિત વિષયો ગણિત નો વિસ્તાર,સમમિતિ અને માળખુ દર્શાવે છે.

સંક્ષિપ્ત બીજગણિત – સંખ્યઓનો સિધ્ધાંત – બીજગાણિતિક ભૂમિતી – ગ્રુપ થિયરી – Monoids – વિશ્લેષણ – સંસ્થિતિ શાસ્ત્ર – રેખિત બીજગણિત – ગ્રાફ થિયરી – સાર્વત્રિક બીજગણિત – કેટેગરી થિયરી – ઓર્ડર થિયરી – માપન થિયરી

Spatial relations

A more visual approach to mathematics.

Topology	Geometry	Trigonometry	Differential geometry	Fractal geometry

Topology – Geometry – Trigonometry – Algebraic geometry – Differential geometry – Differential topology – Algebraic topology – Linear algebra – Fractal geometry

Discrete mathematics

Discrete mathematics involves techniques that apply to objects that can only take on specific, separated values.

Naive set theory	Theory of computation	Cryptography	Graph theory

Combinatorics – Naive set theory – Theory of computation– Cryptography – Graph theory

Applied mathematics

Applied mathematics uses the full knowledge of mathematics to solve real-world problems.

Mechanics – Numerical analysis – Optimization – Probability – Statistics – Financial mathematics – Game theory – Mathematical biology – Cryptography – Information theory – Fluid dynamics

Famous theorems and conjectures

These theorems have interested mathematicians and non-mathematicians alike.

Pythagorean theorem – Fermat's last theorem – Goldbach's conjecture – Twin Prime Conjecture – Gödel's incompleteness theorems – Poincaré conjecture – Cantor's diagonal argument – Four color theorem – Zorn's lemma – Euler's identity – Church-Turing thesis

Important theorems and conjectures

See list of theorems, list of conjectures for more

These are theorems and conjectures that have changed the face of mathematics throughout history.

Riemann hypothesis – Continuum hypothesis – P=NP – Pythagorean theorem – Central limit theorem – Fundamental theorem of calculus – Fundamental theorem of algebra – Fundamental theorem of arithmetic – Fundamental theorem of projective geometry – classification theorems of surfaces – Gauss-Bonnet theorem

Foundations and methods

Approaches to understanding the nature of mathematics also influence the way mathematicians study their subject.

Philosophy of mathematics – Mathematical intuitionism – Mathematical constructivism – Foundations of mathematics – Set theory – Symbolic logic – Model theory – Category theory – Logic – Reverse Mathematics – Table of mathematical symbols

History and the world of mathematicians

See also list of mathematics history topics

History of mathematics – Timeline of mathematics – Mathematicians – Fields medal – Abel Prize – Millennium Prize Problems (Clay Math Prize) – International Mathematical Union – Mathematics competitions – Lateral thinking – Mathematical abilities and gender issues

Mathematics and other fields

Mathematics and architecture – Mathematics and education – Mathematics of musical scales

Common misconceptions

Mathematics is not a closed intellectual system, in which everything has already been worked out. There is no shortage of open problems.

Pseudomathematics is a form of mathematics-like activity undertaken outside academia: and occasionally by mathematicians themselves. It often consists of determined attacks on famous questions, consisting of proof-attempts made in an isolated way (that is, long papers not supported by previously published theory). The relationship to generally-accepted mathematics is similar to that between pseudoscience and real science. The misconceptions involved are normally based on:

• misunderstanding of the implications of mathematical rigour;
• attempts to get round the usual criteria for publication of mathematical papers in a learned journal after peer review, with assumptions of bias;
• lack of familiarity with, and therefore underestimation of, the existing literature.

The case of Kurt Heegner's work shows that the mathematical establishment is neither infallible, nor unwilling to admit error in assessing 'amateur' work. And like astronomy, mathematics owes much to amateur contributors such as Fermat and Mersenne.

Mathematics is not accountancy. Although arithmetic computation is crucial to accountants, their main concern is to verify that computations are correct through a system of doublechecks. Advances in abstract mathematics are mostly irrelevant to the efficiency of concrete bookkeeping, but the use of computers clearly does matter.

Mathematics is not numerology. Numerology uses modular arithmetic to reduce names and dates down to numbers, but assigns emotions or traits to these numbers intuitively or on the basis of traditions.

સંદર્ભ

• Benson, Donald C., The Moment Of Proof: Mathematical Epiphanies (1999).
• Courant, R. and H. Robbins, What Is Mathematics? (1941);
• Davis, Philip J. and Hersh, Reuben, The Mathematical Experience. Birkhäuser, Boston, Mass., 1980. A gentle introduction to the world of mathematics.
• Boyer, Carl B., History of Mathematics, Wiley, 2nd edition 1998 available, 1st edition 1968 . A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.
• Gullberg, Jan, Mathematics--From the Birth of Numbers. W.W. Norton, 1996. An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.
• Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. A translated and expanded version of a Soviet math encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM.
• Kline, M., Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (1973).
• Pappas, Theoni, The Joy Of Mathematics (1989).

External links

• Bogomolny, Alexander: Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. A collection of articles on various math topics, with interactive Java illustrations
• Rusin, Dave: The Mathematical Atlas. A guided tour through the various branches of modern mathematics.
• Stefanov, Alexandre: Textbooks in Mathematics. A list of free online textbooks and lecture notes in mathematics.
• Weisstein, Eric et al.: MathWorld: World of Mathematics. An online encyclopedia of mathematics, focusing on classical mathematics.
• Polyanin, Andrei: EqWorld: The World of Mathematical Equations. An online resource focusing on algebraic, ordinary differential, partial differential (mathematical physics), integral, and other mathematical equations.
• A mathematical thesaurus maintained by the NRICH project at the University of Cambridge (UK), Connecting Mathematics
• Planet Math. An online math encyclopedia under construction, focusing on modern mathematics. Uses the GFDL, allowing article exchange with Wikipedia. Uses TeX markup.
• School Math Help School mathematics community website with focus on learning math, not cheating. Lessons and solvers written by public.
• Mathforge. A news-blog with topics ranging from popular mathematics to popular physics to computer science and education.
• Young Mathematicians Network (YMN). A math-blog "Serving the Community of Young Mathematicians". Topics include: Math News, Grad and Undergrad Life, Job Search, Career, Work & Family, Teaching, Research, Misc...
• Metamath. A site and a language, that formalize math from its foundations.
• Math in the Movies. A guide to major motion pictures with scenes of real mathematics
• Mathematics in fiction. Links to works of fiction that refer to mathematics or mathematicians.