ક્રમચય

વિકિપીડિયાથી
આના પર જાવ: ભ્રમણ, શોધો

ગણિતશાસ્ત્રમાં ક્રમચય નો ખ્યાલ વસ્તુઓ કે મૂલ્યોના ક્રમ બદલવાના (ક્રમાનુસાર પૂન: ગોઠવણી) વતર્ન માટે બધા થોડા ફેરફાર ધરાવતાં ઘણાં અર્થો સાથે ઉપયોગમાં લેવામાં આવે છે. અનૌપચારિક રીતે, મૂલ્યોના સમૂહનો ક્રમચય એ ચોક્કસ ક્રમમાં તે મૂલ્યોની ગોઠવણી છે. તેથી {1,2,3}, નામથી [1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,1,2], અને [3,2,1] સમૂહના છ ક્રમચય છે..

બીજગણિતમાં અને ખાસ કરીને જૂથ સિદ્ધાંતમાં, સમૂહ S નો ક્રમચય તેના પોતાનાથી S સુધી બાયજેક્શન (bijection) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (જેમ કે, નકશો SSજેના માટે S નું દરેક તત્વ ઉપમા મૂલ્ય તરીકે ચોક્કસ રીતે એક વખત હોય છે). આવા f નકશા માટે S ની પુન: ગોઠવણી સંગઠીત કરવામાં આવી છે જેમાં દરેક s તત્વ તેની ઉપમા f (s ) નું સ્થાન લે છે. સંયોજન વિજ્ઞાનમાં મર્યાદિત સમૂહ S ની ક્રમચય યાદીમાં તેના તત્વોના ક્રમની ગોઠવણી તરીકે વ્યામખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ અર્થમાં, સમૂહ S ના ક્રમચયો તેમના તત્તવોની ગોઠવણીમાં ચોક્કસ રીતે અલગ હોય છે. સમૂહ S માટે જે પ્રાથમિક ગોઠવણી સાથે આપવામાં આવે છે, જેવા કે S ={1,,2,3,...,n}, આ બંને અર્થો લગભગ ઓળખયોગ્ય બની શકે છે: આ પ્રાથમિક ગોઠવણી જે પ્રથમ અર્થમાં ઉપયોગ કરવામાં આવતા ક્રમચય તત્વોની વૈકલ્પ‍િક ગોઠવણી આપે છે, જે બીજા અર્થમાં ક્રમચય છે.

ક્રમચય પરિભાષા ઓછી ઔપચારિક રીતે તેના પરિણામ અથવા વસ્તુની પુન:ગોઠવણી કરેલા ભાગની પ્રક્રિયાને સ્પષ્ટ રુપરેખા આપવા માટે તરીકે પણ કાર્ય કરે છે. તેથી તેના અક્ષરોના ક્રમ પ્રમાણે અક્ષરની પુન:ગોઠવણી (anagram) ને આમ વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે,અથવા કહે છે કે X 3Y +7+Y 2Z એ બહુભાષી X 3Y +Y 2Z ની પરિભાષાઓના ક્રમચય (દ્વારા લેવાયેલ) છે. ક્રમ બદલવાની પ્રક્રિયા પ્રતીકોની અવેજી માટે પણ ધ્યાનમાં લઇ શકાય, ઉદાહરણ માટે જ્યારે કહેવામાં આવે છે કે Y 3Z +Z 2X +7 એ X , Y , Z ચલના ક્રમચય (ક્રમાનુસાર) દ્વારા X 3Y +Y 2Z +7 માંથી લેવામાં આવે છે. આ અહેવાલો ચોક્કસ સપ્રમાણ જૂથ પ્રક્રિયાને ધ્યાનમાં લેવાથી નિશ્ચિત અર્થ આપી શકાય છે.

સંયોજન વિજ્ઞાનમાં "ક્રમચય" નો બીજો અર્થ ક્યારેક વિસ્તૃત છે. પ્રાથમિક સંયોજન વિજ્ઞાનમાં, "ક્રમચયો અને સંયોજનો" નામ n તત્વોના સમૂહમાંથી k સ્પષ્ટ જ તત્વો પસંદ કરવા માટે ગણાતી બંને શક્યતાઓ બે સંબંધિત સમસ્યાઓને ધ્યાનમાં લે છે, જ્યાં k - ક્રમચયો માટે પસંદગીનો ક્રમ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, પરંતુ k - સંયોજનો માટે તે અવગણવામાં આવે છે. હકીકતમાં, ગણેલાં k - ક્રમચયો k - સંયોજનોની \tbinom nk સંખ્યા ગણવા, અને સમૂહ (અગાઉ ઉલ્લેખ કરાયેલ બે અર્થોમાંના એકમાં) ક્રમચયોની સંખ્યા ''n!'' ગણવા તરફ પગલાં તરીકે ઉપયોગમાં લેવામાં આવે છે. જો કે k – ક્રમચયો k = n સિવાયનાં આવા ક્રમચયો માટે સુસંવાદિત નથી, તે જો પસંદગી બધા ઉપલબ્ધ તત્વોનો સમાવેશ ન કરતુ હોય. ક્રમચયના ખ્યાલનો વિવિધ વિસ્તૃતિકરણમાં સમૂહ S સાથે કરવા કરતાં, મર્યાદિત બહુવિધ સમૂહ M સાથે શરુ કરી શકે છે, જેમાં કેટલાક મૂલ્યો એકથી વધુ વખત જોવા મળે છે. M નો (બહુવિધ સમૂહ) ક્રમચય M તત્વોની શ્રેણી છે જેમાં તેમાના દરેક M માં જેટલીવાર જોવા મળે છે તેટલી જ વારંવાર જોવા મળે છે. તેથી M =[1,1,1,2,3,3] માટે, શ્રેણી [3,1,2,1,1,3] તે M નો બહુવિધ સમૂહ ક્રમચય છે, પરંતુ [3,1,2,1,2,3,1] નથી.

ક્રમચયો ગણિતમાં લગભગ કોઇપણ ક્ષેત્રમાં આશરે ધ્યાનાકર્ષક માર્ગોમાં જોવા મળે છે. તેઓ ઘણીવાર ત્યારે ઉદ્દભવે છે જ્યારે ચોક્કસ મર્યાદિત સમૂહો પર વિવિધ ક્રમોને શક્ય રીતે ફક્ત ત્યારે જ ધ્યાનમાં લેવામાં આવતા હોય છે, કારણકે કોઇ આ ક્રમોને અવગણવા માગતુ હોય છે અને જાણવાની જરૂર છે કે તેથી કેટલા માળખાં ઓળખવામાં આવે છે. સમાન કારણો માટે ક્રમચયો કોમ્યુટર વિજ્ઞાનમાં વર્ગિકૃત ગણતરીઅભ્યાસમાં ઉત્પન્ન‍ થાય છે. બીજગણિતમાં, સમગ્ર વિષય સપ્રમાણ જૂથના ખ્યાલ દ્વારા ક્રમચયોના વિગતવાર અભ્યાસને સમર્પીત કરવામાં આવ્યું છે. તેની ગોઠવણીની કડી ક્રમચયો તૈયાર થવાની શકયતા છે: ક્રમાનુસાર બે આપેલી પુનઃ ગોઠવણીઓ કાર્યરત કરવાથી, સંયોજન ત્રીજી પુનઃ ગોઠવણી વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

n વસ્તુઓના સંખ્યાબંધ ક્રમચયો ચકાસણી કરી નક્કી કરવા માટેનો નિયમ 1150 ની આસપાસ જેટલું વહેલુ હિંદુ સંસ્કૃતિમાં ઓળખવામાં આવતુ હતું: રતીય ગણિતશાસ્ત્રીમ ભાસ્કર દ્વારા લીલીવટી(Lilivati) જે અનુવાદ કરતી જગ્યા ધરાવે છે

ઐક્ય દ્વારા શરુ કરેલ અને વધેલી અંક ગણિતની શ્રેણીઓની વૃદ્ધિનું ઉત્પાદન અને સંખ્યાબંધ જગ્યાઓ માટે ચાલુ રહેલ, વિશિષ્ટિ આંકડાઓ સાથે અંકોની ભિન્નેતા જોવા મળશે.[૧]

પ્રથમ કિસ્સો જ્યાં પૂરતો અભ્યાસ કર્યો પહેલાં અસંબંધિત ગાણિતીક પ્રશ્નોનો 1770 ની આસપાસ ક્રમચયોની મદદથી અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે, જ્યારે જોસેફ લુઇસ લેગરેંજ એ, પોલીનોમીયલ (polynomial) સમીકરણના અભ્યાસમાં, નિરીક્ષણ કર્યું કે સમીકરણના પાયાના ક્રમચયોના ગુણધર્મો તેને ઉકેલવાની શક્યતાઓ સાથે સંબંધિત છે. વિકાસ જે આ કાર્યથી આગળ આવેલ હતાં તે અંતે એવારીસ્ટ ગોલોઇસ (Evariste Golois)ના કાર્યથી પરિણમ્યું હતુ, ગોલોઇસ (Golois)સિદ્ધાંતમાં, સુધારણાવાદીઓ દ્વારા પોલીનોમીયલ (polynomial) સમીકરણો (એક અજ્ઞાતમાં) ઉકેલવા સાથે જે શક્ય અને અશક્ય છે તેનું સંપૂર્ણ વર્ણન આપે છે. આધુનિક ગણિતશાસ્ત્રમાં ઘણી સમાન પરિસ્થિતિઓ છે, જ્યાં સમસ્યાને સમજવા તેની સાથે સંબંધિત ચોક્કસ ક્રમચયોના અભ્યાસ કરવો જરૂરી છે.

વ્યાપકતાઓ[ફેરફાર કરો]

ક્રમચયનો ખ્યાંલ નીચેના સંદર્ભોમાં ઉપયોગમાં લેવામાં આવે છે.

જૂથ સિદ્ધાંતમાં[ફેરફાર કરો]

જૂથ સિદ્ધાંતમાં અને સંબંધિત વિસ્તારમાં, કોઇ બિનઆયોજિત સમૂહો, અનંત સંખ્યાઓના પણ ક્રમચયો ધ્યાનમાં લે છે. S સમૂહના ક્રમચય તેના પોતાનાથી S સુધી બાયજેક્શન (bijection) છે. આ ક્રમચયો તૈયાર કરવા માટે માટે પરવાનગી આપે છે, જે ક્રમચયોના જૂથોની વ્યાખ્યાઓને માન્ય રાખે છે. જો Sn તત્વેનો મર્યાદિત સમૂહ છે, તો પછી S ના ''n'' !S ના ક્રમચયો છે. એ S ના ક્રમચયો છે.

સંયોજન વિજ્ઞાનમાં[ફેરફાર કરો]

સંયોજન વિજ્ઞાનમાં, સામાન્‍ય રીતે ક્રમચય એ એક જ અને ફક્ત એક જ વખત મર્યાદિત સમૂહમાંથી દરેક તત્‍વ ધરાવતી શ્રેણી બનવા માટે સમજવામાં આવે છે. શ્રેણી નો ખ્‍યાલ કેટલાંક ક્રમમાં દેખાતા શ્રેણીના તત્‍વોમાં સમૂહ થી સ્‍પષ્‍ટ છે: શ્રેણીને પ્રથમ તત્‍વ (જો તે ખાલી ન હોય તો), બીજુ તત્‍વ (જો તેની લંબાઇ 2 થી ઓછી ન હોય તો) અને ઘણાં બધા છે. વિરોધમાં, સમૂહમાં તત્‍વોને કોઇ ક્રમ નથી, {1,2,3} અને {3,2,1} સમાન સમૂહને સ્‍પષ્‍ટપણે દર્શાવવા માટે ઘણા માર્ગો છે. આ અર્થમાં n તત્‍વોના મર્યાદિત સમૂહ S નો ક્રમચય S થી {1, 2, ... , n} સુધી બાયજેકશન (bijection) માટે (જેમાં કોઇપણ શ્રેણીના 10 મા તત્‍વ માટે આલેખવામાં આવ્‍યો છે), અથવા S પરના કુલ ક્રમની પસંદગી (જેના માટે શ્રેણીમાં y પહેલાં x આવે તો x <y ) માટે સમાન છે. આ અર્થમાં ''n'' ! પણ S ના ક્રમચયો છે.

"ક્રમચય" પરિભાષાના થોડાં વધુ નબળાં અર્થ પણ છે જે એક કરતાં વધુ તત્‍વો ન જોવા મળે તેમાં તે શ્રેણીઓની સ્‍પષ્‍ટ રુપરેખા દોરવા, પ્રાથમિક સંયોજન વિજ્ઞાન લખાણોમાં ક્યારેક ઉપયોગમાં લેવામાં આવે છે, પરંતુ આપેલા સમૂહથી બધા તત્‍વો ઉપયોગમાં લેવા માટેની જરૂરિયાત વિના ઉપયોગમાં લેવામાં આવે છે. ખરેખર આ ઉપયોગ ઘણીવાર ધ્‍યાનમાં લીધેલ n>k કદના આપેલ સમૂહમાંથી લીધેલ તત્‍વોની 0}k મર્યાદિત લંબાઇની શ્રેણીઓ સંકળાયેલી છે. આ વસ્‍તુઓ પુનરાવર્તન વિનાની શ્રેણીઓ તરીકે પણ જાણીતી છે, જે પરિભાષા "ક્રમચય" ના અન્‍ય વધુ સામાન્‍ય અર્થો સાથે ગૂંચવાડાને અવગણે છે. n કદના સૂમૂહના તત્‍વોના પુનરાવર્તન વિના લંબાઇ k ની સંખ્‍યાબંધ શ્રેણીઓ છે

n^{\underline k}=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots(n-k+1),

n ની અવયવી ઘાત ઘટતા k -th તરીકે જાણી આંકડાં અને જેના માટે કોઇપણ નામ અને ખ્‍યાલો ઉપયોગમાં લે છે.

જો M એ મર્યાદિત બહુવિધ સમૂહ છે, તો પછી બહુવિધ સમૂહ ક્રમચય M ના તત્‍વોની શ્રેણી છે જેમાં દરેક તત્‍વ M ની તેની વૃદ્ધિ જેટલી જ વધુ વખત જોવા મળે છે. જો M (કેટલાક ક્રમમાં લીધેલ) ના તત્‍વોની વૃદ્ધિઓ M_1, M_2 …… M_1 અને તેમનો દાખલો (દા.ત. M નું કદ) n છે, તો પછી M ના બહુવિધ સમૂહ ક્રમચયની સંખ્‍યા મલ્‍ટીનોમીયલ કોઇફિસીયન્ટ (multinomial coefficient) દ્વારા આપવામાં આવે છે

{n \choose m_1,m_2,\ldots,m_l} = \frac{n!}{m_1!\,m_2!\, \cdots\,m_l!}.

જૂથ સિદ્ધાંતમાં ક્રમચય[ફેરફાર કરો]

જૂથ સિદ્ધાંતમાં, સમૂહની પરિભાષા ક્રમચય નો અર્થ તેના પોતાના પરથી તે સમૂહમાંથી બાયજેક્ટીવ (bijective) નકશો કે બાયજેક્શન (bijection) છે. કોઇપણ આપેલ S સમૂહના બધા ક્રમચયોના સમૂહ કુદરતી તત્વો તરીકે ઓળખાતા અને ઉત્પાદન તરીકે નકશાઓની બનાવટ સાથે જૂથ બનાવે છે. આ S નું સપ્રમાણ જૂથ છે. ઇઝોમોર્ફીઝમ (Isomorphism) સુધી, ફક્ત આ સપ્રમાણ જૂથ સમૂહની મૂળ સંખ્યા પર આધારિત છે, તેથી S ના તત્વો‍ના પ્રકાર જૂથોના બંધારણ માટે અસંબંધિત છે. સપ્રમાણ જૂથો મર્યાદિત સમૂહોના કિસ્સામાં મોટેભાગે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. જેમાં એક કિસ્સો એટલા માટે કેટલીક કુદરતી સંખ્યા n માટે S ={1,2,...,n} લઇ શકાય છે, જે n પ્રમાણના સપ્રમાણ જૂથને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. સપ્રમાણ જૂથનું કોઇપણ ગૌણ જૂથ ક્રમચય જૂથ કહેવામાં આવે છે. હકિકતમાં Calley ના સિદ્ધાંત દ્વારા કોઇપણ જૂથ ક્રમચય જૂથ માટેના અને મર્યાદિત સપ્રમાણ જૂથના ગૌણ જૂથ માટે દરેક મર્યાદિત જૂથ માટેના ઇસોફોર્મિક (isomorphic) છે. જોકે, ક્રમચય જૂથને સારાંશ જૂથ કરતાં વધુ માળખું ધરાવે છે, અને ક્રમચય જૂથ તરીકે જૂથની વિવિધ રોકડ રકમમાં ફેરવણી તેથી સમાન કરવાની જરૂરિયાત નથી.

સંકેતલિપી[ફેરફાર કરો]

મર્યાદિત સમૂહ S ના ક્રમચય માટે બે મુખ્ય સંકેતલિપી છે. બે લીટીની સંકેતલિપીમાં એક પ્રથમ હરોળમાં S ના તત્વો ની યાદી બનાવે છે, અને બીજી હરોળમાં તેની નીચે ક્રમચય હેઠળ તેની ઉપમા દરેક માટે છે. ઉદાહરણ માટે, સમૂહ {1,2,3,4,5} નો ચોક્કસ ક્રમચય આ રીતે લખી શકાય:

\sigma=\begin{pmatrix} 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 4 &amp; 5 \\ 2 &amp; 5 &amp; 4 &amp; 3 &amp; 1\end{pmatrix};

તેનો અર્થ છે કે તે σσ (1)=2, σ (2)=5, σ (3)=4, σ (4)=3, અને σ (5)=1 ને સંતોષે છે.

વૈકલ્પિક રીતે, ક્રમાનુસાર સંકેતલિપીનો ઉપયોગ કરતાં ક્રમચય આપણે લખી શકીએ, જે ક્રમચયના સફળતાપૂર્વકના અમલીકરણની અસર પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે. તે ક્રમચયને તેના કાર્યક્ષેત્ર (ઓછામાં ઓછા બે તત્વો સાથે) માટે ક્રમાનુસાર સુસંગત કરવાના ઉત્‍પાદન તરીકે અભિવ્યકત કરે છે; કારણકે સ્પષ્ટ કાર્યક્ષેત્રો છૂટાં છે, આ નબળી રીતે ક્રમચયના "છૂટા ક્રમચક્રમાં સંચયના વિનાના" તરીકે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. તે આ રીતે કામ કરે છેσ(x) ≠ x, સાથે S ના કોઇ તત્વ સાથે શરુ કરતા, જે મુદાઓ વિકલ્પ તરીકે કૌંસના ચિહ્ન વડે બંધ કરે છે, જ્યાં સુધી x ઉપમા ન બને ત્યાં સુધી, σ હેઠળ ક્રમાનુસાર આવતી ઉપમાઓના (x σ (x ) σ (σ (x )) ...) શ્રેણી સાથે લખે છે. નીચે લખેલ મૂલ્યો‍ના સમૂહ x નું કાર્યક્ષેત્ર (σ હેઠળ) બનાવે છે, અને કૌંસના ચિહ્નમાં આપેલ અભિવ્યક્તિ σ નું સુસંગત ક્રમચક્ર આપે છે. પછી S ના x તત્વ, પસંદ કરવાનું ચાલુ રાખે છે, જે પહેલાંથી નીચે લખેલ કાર્યક્ષેત્રમાં નથી, અને આ રીતેσ(y) ≠ y, અને નીચે સુસંગત ક્રમચક્ર લખે છે અને તે રીતે S ના બધા તત્વો અગાઉ કાં તો નીચે લખેલ ક્રમચય સાથે જોડાયેલ અથવા σ ના નક્કી થયેલ કેન્દ્રો છે. તેથી દરેક નવા ક્રમચક્ર માટે શરુઆતનું કેન્દ્ર ભિન્ન માર્ગોએ પસંદ કરવામાં આવે છે, સમાન ક્રમચય માટે સામાન્ય ઘણા વિવિધ ક્રમચય સંકેતો હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે ઉપરનું એક ઉદાહરણ માટે છે

\begin{pmatrix} 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 4 &amp; 5 \\ 2 &amp; 5 &amp; 4 &amp; 3 &amp; 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 &amp; 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 &amp; 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 &amp; 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 &amp; 1 &amp; 2 \end{pmatrix}.

σ નું દરેક ક્રમચક્ર (x 1 x 2 ... x l ) તેના પોતાના હકમાં ક્રમચય ચિહ્ન દ્વારા દર્શાવે છે, જ્યારે તેઓ માટે S ના બધા અન્ય તત્વો રચાતા, આ કાર્યક્ષેત્ર (તેથી તે i < l માટે x ' થી x અને x ' થી x રચે છે) પર ' તરીકે સમાન મૂલ્યો લે છે. કાર્યક્ષેત્રનું કદ ' ક્રમચક્રની લંબાઇ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. σ નું સ્પષ્ટ કાર્યક્ષેત્ર વ્યાખ્યાથી જોડાયેલા નથી, તેથી સુસંગત ક્રમચક્રો અદલાબદલી કરવા માટે સરળ જોવા મળે છે, અને તેના σ ક્રમચક્રોનું ઉત્પાદન છે (ગમે તે ક્રમમાં લેવું). તેથી ક્રમચક્ર સંકેતોમાં ક્રમચક્રોના એકબીજા સાથે જોડાણ ક્રમચયનું નામ મૂળ તત્વોથી છૂટું પડવું, "ખંડનાત્મક" કયા કારણથી પડ્યું, તે ક્રમચયની રચના ચિહ્ન દ્વારા દર્શાવવાથી અર્થઘટન કરી શકાય છે. આ "મૂળ તત્વોથી છૂટું પડવું" તે ખાસ કરીને અદ્વિતીય છેઃ ઉપરાંત ઉત્પાદનમાં ક્રમચયની નોંધણી, જેને છૂટાં કાર્યક્ષેત્રો છે તેવા ક્રમચક્રો (σ ના ક્રમચક્ર સાથે શકય રીતે અસંબંધિત) ના ઉત્પાદન તરીકે σ લખવાનો કોઇપણ અન્ય માર્ગ નથી. ક્રમચક્ર સંકેત ઓછો અદ્વિતીય છે, કારણ કે દરેક વ્યક્તિગત ક્રમચક્ર જુદા જુદા માર્ગોમાં લખી શકાય છે, જેવી રીતે ઉપરના ઉદાહરણમાં છે જ્યાં (5 1 2) (પરંતુ 5 2 1) તરીકે સમાન ક્રમચક્ર ચિહ્ન દ્વારા દર્શાવે છે).

કદ 1 નું (S માં ચોક્કસ ચિહ્ન x ) કાર્યક્ષેત્રને સુસંગત ક્રમચક્ર નથી, તે કારણે ક્રમચયS ના દરેક અન્ય તત્વની જેમ x ને પણ ગોઠવે છે, બીજા શબ્દોમાં તે x ની સ્વતંત્ર રીતે, ઓળખ બને છે. σ દબાણ કરવા માટે ક્રમચક્ર સંકેતીકરણમાં (x ) ઉમેરવા માટેની શક્યતા છે, (અને આ વર્ણવેલ ક્રમચક્રો અને ચોક્કસ ચિહ્નો સંયોજન વિજ્ઞાનમાં પણ પ્રમાણિત છે), પરંતુ આ σ ની ભિન્નતામાં (જૂથ સિદ્ધાંત)ઘટક માટે સુસંગત નથી. જો "ક્રમચક્ર" નો ખ્યાલ ઓળખ ક્રમચક્ર ઉમેરવા માટે લેવામાં આવ્યું હતું, તે પછી આ છૂટા ક્રમચક્રોમાં ક્રમચયની ભિન્નતાની ઐક્યતા (ક્રમ સુધી) બગાડી શકે છે. ઓળખ ક્રમચયનાં છૂટાં ક્રમચક્રોમાં ભિન્નતા એ ખાલી બનાવટ છે, તેની ક્રમચક્ર સંકેત ખાલી બને છે, તેથી e જેવા કેટલાક અન્ય સંકેત સામાન્ય રીતે વિકલ્પે તરીકે વાપરવામાં આવે છે.

બે લંબાઇના ક્રમચક્રોને ક્રમની અદલાબદલી કહેવામાં આવે છે; આવા ક્રમચયો ફક્ત બે તત્વોની જગ્યા બદલે છે.

સંખ્યા અને વ્યસ્ત પ્રમાણ[ફેરફાર કરો]

બે ક્રમચયોની સંખ્યા કાર્યો તરીકે તેમની રચના તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, બીજા શબ્દોમાં σ·π એ કાર્ય કરે છે જે σ (π (x )) માટે સમૂહનું કોઇપણ x તત્વ રચે છે. ધ્યાન રાખો કે ઉપાય કાર્ય અરજી લખાયેલ છે તેથી, ક્રમચયો તેમની દલીલોની જમણી તરફ લાગુ થાય છે. અમુક લેખકો ડાબી બાજુ કારણ કાર્યને પ્રથમ પસંદ કરે છે, પરંતુ તે અંતે ક્રમચયો તેમની દલીલોની જમણી તરફ જ લખવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે પ્રતિપાદક તરીકે, જ્યાં σ ની અવેજીમાં x કાર્ય કરે છે તે x σ લખવામાં આવે છે; પછી સંખ્યા x σ·π =(x σ )π દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જોકે આ ક્રમચયોનો ગુણાકાર કરવા માટે જુદો નિયમ આપે છે, આ લેખ એ વ્યાખ્યા વાપરે છે જ્યાં જમણા છેડાના ક્રમચય પ્રથમ ઉપયોગમાં લેવામાં આવે છે.

બે બાયજેક્શન (bijecttion) ની રચના હંમેશા અન્ય બાયજેક્શન (bijecttion) આપતુ હોવાથી બે ક્રમચયોની સંખ્યા ફરીથી ક્રમચય હોય છે. કાર્યરચના સંગઠિત હોવાથી, તે ક્રમચયો પર સંખ્યા કાર્ય કરે છેઃ (σ·πρ =σ ·(π·ρ ). આથી, ક્રમચયોની સંખ્યા. સામાન્ય રીતે સંખ્યાને કૌંસ વિના લખવામાં આવે છે, તેઓ સામાન્ય રીતે સંખ્યાને દર્શાવવા ટપકાં (બિંદુ) કે અન્ય ચિહ્ન વિના લખવામાં આવે છે

એકરુપ ક્રમચય, જે તેના પોતાના માટે સમૂહનું દરેક તત્વે રચે છે, તે આ સંખ્યા માટે તટસ્થ તત્વ છે. બે લીટીમાં સંકેતમાં, એકરુપ છેઃ

\begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; \cdots &amp; n \\ 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; \cdots &amp; n\end{pmatrix}.

બાયજેક્શન (bijecttion)વ્યસ્ત‍ હોવાથી, ક્રમચય કરો, અને σ નો વ્યસ્ત(σ −1 ફરીથી ક્રમચય છે. સ્પષ્ટ રીતે, જ્યારે σ (x )=y ને σ −1(y )=x પણ ધરાવે છે. બે-લીટીના સંકેતમાં વ્યસ્ત બે લીટીઓ અદલાબદલી દ્વારા મેળવી શકાય છે (અને જો કોઇ આપેલા ક્રમમાં પ્રથમ લીટી ઇચ્છતુ હોય તો સ્તંભોને વર્ગીકૃત કરવા). ઉદાહરણ માટે

\begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 4 &amp; 5 \\ 2 &amp; 5 &amp; 4 &amp; 3 &amp; 1\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}2 &amp; 5 &amp; 4 &amp; 3 &amp; 1\\ 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 4 &amp; 5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 4 &amp; 5 \\ 5 &amp; 1 &amp; 4 &amp; 3 &amp; 2\end{pmatrix}.

ક્રમચક્ર સંકેતમાં તેના વ્યસ્ત માટે ક્રમચક્રો સંકેત મેળવવા માટે દરેક ક્રમચક્રમાં તત્વોના ક્રમ કોઇ ઉલટાવી શકે શકાય છે.

બધા તેના તત્વો માટે સંગઠિત સંખ્યા, તટસ્થ તત્વ અને વ્યવસ્ત. હોવું એ, જુથમાં S ના બધા ક્રમચયોનો સમૂહ બનાવે છે. જે S નું સપ્રમાણ જૂથ કહેવામાં આવે છે.

મર્યાદિત સમૂહના બધા ક્રમચય અદલાબદલીઓની સંખ્યા તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. વધુમાં, જોકે ઘણી આવી અભિવ્યક્તિઓ આપેલ ક્રમચય માટે અસ્તિત્વ ધરાવતી હોઇ શકે છે, એકી સંખ્યાની અદલાબદલીઓ સાથે બેકી સંખ્યા અને અભિવ્યક્તિઓ સાથે તેમાંથી ક્યારેય હોતી નથી. તમામ ક્રમચયો અદલાબદલીઓની સમાન કક્ષા પ્રમાણે કોઇ અભિવ્યક્તિમાં એકી કે બેકી તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

ક્રમચક્ર, સંકેતમાં લખેલા ગુણેલા ક્રમચયો સરળતાથી વર્ણવી શકાય તેવી ભાતો અનુસરતા નથી, અને અભ્યાસમાં ક્રમચક્રો સમગ્ર રીતે બનાવવામાં આવતા ક્રમચયોથી તેઓ અલગ હોઇ શકે છે. જોકે, ક્રમચક્ર માળખું અન્ય π ક્રમચય દ્વારા σ ક્રમચયને રુપ આપવાના વિશિષ્ટ કિસ્સામાં જાળવી રાખવામાં આવે છે, જેનો અર્થ સંખ્યા π·σ·π −1 બનાવવાનો છે. અહીં પરિણામના ક્રમચક્ર સંકેત σ માટે ક્રમચક્ર સંકેત લેવાથી મેળવી શકાય છે અને તેમાં બધી નોધમાં π ઉપયોગમાં લઇ શકાય છે.[૨]

n મેટ્રીક્સતરીકે {1, 2, ..., n} ના ક્રમચયનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે. તેમ કરવા માટેના બે કુદરતી રસ્તાઓ છે, પરંતુ ફક્ત એક બાબત માટે જ્યાં સમાન ક્રમમાં ક્રમચયના ગુણાકારને ચોક્કસ નિયમો દ્વારા હરોળ અને સ્તંભની સંખ્યાઓની લંબચોરસ ગોઠવણીના ગુણાકાર સુસંગત થાય છેઃ આ તે છે જે મેટ્રીક્સ M ને σ સાથે સંગઠિત કરે છે જેની નોંધ જો i =σ (j ) હોય તો M i ,j છે તો 1 અથવા 0 છે. પરિણમતા મેટ્રિક્સને ચોક્કસ રીતે એક સ્તંભ અને એક હરોળમાં 1 નોંધ હોય છે. આવા મેટ્રિક્સને ક્રમચય મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે.

સંયોજન વિજ્ઞાનમાં ક્રમચયો[ફેરફાર કરો]

સંયોજન વિજ્ઞાનમાં n તત્વો સાથે S સમુહના ક્રમચય એ કેટલાક ક્રમમાં S ના તત્વોની યાદી છે (દરેક તત્વ ચોક્કસ રીતે એક વખત જોવા મળે છે). આ ઔપચારિક રીતે S માટે સમૂહ { 1, 2, ..., n} માંથી બાયજેક્શન (bijection) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ધ્યાન રાખો કે જો S એ { 1, 2, ..., {0}n } ના સમાન હોય, તો પછી આ વ્યાખ્યામાં જૂથ સિદ્ધાંતમાં વ્યાખ્યા સાથે એકરુપ હોય છે. વધુ સામાન્ય રીતે તેના તત્વોના આપેલા કુલ ક્રમ સાથે પુરો પાડવામાં આવતા { 1, 2, ..., n} ને કોઇપણ સમૂહના બદલે ઉપયોગમાં લઇ શકાય છે.

ક્રમચયોના જૂથ સૈદ્ધાંતિક અર્થઘટન સાથે સંબંધિત છે તેવો એક સંયોજક ગુણધર્મ, અને જે S નો કુલ ક્રમ વાપર્યા વિના વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય તે ક્રમચય σ ની ક્રમચક્ર સંરચના છે. તે σ ના ક્રમચક્રોની લંબાઇઓ વર્ણવતા n ના વિભાજન છે. અહીં σ ના દરેક નિશ્ચિત ચિહ્નો માટે વિભાજનમાં ભાગ "1" છે. જે ક્રમચયને નિશ્ચિત ચિહ્ન નથી તે યાદચ્છિક કહેવામાં આવે છે.

અન્ય સંયોજક ગુણધર્મો જોકે સીધી રીતે S ના ક્રમો સાથે સંબંધિત છે, અને તે માર્ગે ક્રમચય તેની સાથે સંબંધિત છે. અહીં આ પ્રકારના સંખ્યાબંધ ગુણધર્મો છે.

ચડતો ક્રમ, ઉતરતો ક્રમ અને વિસ્તાર[ફેરફાર કરો]

n ના ક્રમચય σ નો ચડતો ક્રમ એ કોઇપણ સ્થિતિ i < n છે જ્યાં પછીનું મૂલ્ય હાલના મૂલ્ય કરતાં વધુ મોટું છે. જો σ = σ 1σ 2...σ n તો પછી જો σ i < σ હોય તો i ચડતો ક્રમ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 3452167 ક્રમચય 1,2,5,6 ક્રમ (સ્થાનો પર) ધરાવે છે.

તે જ રીતે, ઉતરતો ક્રમi < n સાથે σ i > σ i +1 સ્થાન છે, આથી દરેક i સાથે 1\leq iσ નો ઉતરતો ક્રમ અથવા ચડતો ક્રમ છે.

k ચડતા ક્રમો સાથે n ના સંખ્યાબંધ ક્રમચયો તે યુલરીયન સંખ્યા \textstyle\left\langle{n\atop k}\right\rangle છે; આ k ઉતરતા ક્રમ સાથે n ના સંખ્યાબંધ ક્રમચયો પણ છે.[૩]

ક્રમચયનો ચડતાક્રમનો વિસ્તાર એ ક્રમચયના વધતા સંલગ્ન પરિણામસભર (nonempty) છે જે બીજા છેડે વધારી શકાય નહીં; તે ક્રમાનુસાર ચડતા ક્રમોના અધિકતમ પરિણામ માટે સુસંગત છે (આંકડા ખાલી હોઇ શકે છેઃ બે ક્રમાનુસાર ઉતરતા ક્રમો વચ્ચે હજુ પણ લંબાઇ 1 નો ચડતા ક્રમનો વિસ્તાર છે). તેનાથી વિપરીત ક્રમચયના વધતા પેટાક્રમ પરિણામો જરુરી રીતે સંલગ્ન નથી: કેટલાક સ્થાનોએ રદ્દ કરતા મૂલ્યો દ્વારા ક્રમચયમાંથી મેળવેલ તત્વોનો વધતો ક્રમ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમચય 2453167 ચડતા ક્રમ વિસ્તા‍રો 245, 3 અને 167 છે, જ્યારે તે વધતો પેટાક્રમ 2367 ધરાવે છે.

જો ક્રમચયને k − 1 ઉતરતા ક્રમો છે, પછી તે k ચડતા ક્રમના વિસ્તારોનું સંયોજન હોવું જ જોઇએ. તેથી, k ચડતા ક્રમના વિસ્તારો સાથે n ના સંખ્યાબંધ ક્રમચયો k − 1 ઉતરતા ક્રમો સાથે ક્રમચયોની સંખ્યામાં \textstyle\left\langle{n\atop k-1}\right\rangle તરીકે સમાન છે[૪].

વ્યુત્ક્રમો[ફેરફાર કરો]

ક્રમચય σ નો વ્યુત્ક્રમ સ્થાનોની જોડી (i ,j ) છે જ્યાં ક્રમચયની નોંધો વિરુદ્ધ ક્રમમાં છે: i અને \sigma_i>\sigma_j.[૫] તેથી ઉતરતો ક્રમ એ બે નિકટનાં સ્થાનોએ વ્યુત્ક્રમ છે. ઉદાહરણ તરીકે, σ = 23154 ને ત્રણ વ્યુ‍ત્ક્રમો (1,3), (2,3), (4,5)નોંધોની જોડીઓ માટે (2,1), (3,1), (5,4) છે.

કયારેક વ્યુત્ક્રમો મૂલ્યોની (σ i ,σ j ) જોવાની જોડી જેના ક્રમ ઉલટાવવામાં આવ્યા છે. તે રીતે વ્યા‍ખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ વ્યુત્ક્રમોની સંખ્યા માટે કોઇ તફાવત બનાવતો નથી અને આ જોડી (ઉલટી) પણ વ્યસ્ત ક્રમચય σ −1 માટે ઉપરના અર્થમાં વ્યુત્ક્રમ છે. વ્યુત્ક્રમોની સંખ્યા અંશ માટે મહત્વનું માપ છે જેના માટે ક્રમચયોની નોંધો ક્રમની બહાર છે, તે σ માટે અને σ −1 માટે સમાન છે. નિકટની અદલાબદલીઓ ક્રમાનુસાર ઉપયોગમાં લેવાથી (જમણા ગુણાકાર દ્વારા) ક્રમમાં (જેમકે, એકરુપ ક્રમચયમાં તેને બદલવું), k વ્યુત્ક્રમો સાથે ક્રમચય લાવવા માટે, તે હંમેશા શક્ય છે અને k જેવા સંચાલનોના ક્રમની આવશ્યકતા છે. વધુમાં નિકટની અદલાબદલી માટે કોઇ વ્યાઆજબી પસંદગી કામ કરશેઃ તે i ની અદલાબદલીના દરેક પગલે પસંદ કરવા માટે પૂરતા છે i + 1 અને જ્યાં i એ અત્યાર સુધી ફેરફાર કર્યા પ્રમાણે ક્રમચયનો ઉતરતો ક્રમ છે (જેથી અદલાબદલી અન્ય ઉતરતા ક્રમો સર્જતી હોવા છતાં, આ ચોક્કસ ઉતરતો ક્રમ દૂર કરશે). આ આવું છે કારણ કે આવી અદલાબદલીનો ઉપયોગ 1 દ્વારા સંખ્યા બંધ વ્યુત્ક્રમો ઘટાડે છે; એ પણ નોંધવું કે જ્યાં સુધી આ સંખ્યા શૂન્ય નથી, ક્રમચય એકરુપ નથી, તેથી તે ઓછામાં ઓછો એક ઉતરતો ક્રમ ધરાવે છે. બબલ વર્ગીકરણ અને સમાવેશ વર્ગીકરણ ક્રમમાં પરિણામ મૂકવા માટે આ પ્રક્રિયાના વ્યવસ્થિત ઉદાહરણો તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય. સંજોગવશાત આ પ્રક્રિયા સાબિત કરે છે કે કોઇપણ ક્રમચય σ નિકટની અદલાબદલીની સંખ્યા તરીકે લખી શકાય છે; આ માટે આવી અદલાબદલીના કોઇ ક્રમ સરળતાથી ઉલટાવી શકે શકાય જે σ ને એકરુપતામાં બદલે છે. હકિકતમાં, નિકટની અદલાબદલીનના તમામ ક્રમોની ગણના કરીને જે σ ને એકરૂપતામાં બદલે છે, તેનાથી નિકટની અદલાબદલીની સંખ્યા તરીકે σ લખવા ઓછામાં ઓછી લંબાઇની બધી અભિવ્યક્તિઓની સંપૂર્ણ યાદી મેળવે (ઉલ્ટવ્યા પછી) છે.

k વ્યુત્ક્મો સાથે n ના સંખ્યાનબંધ ક્રમચયો મેહોનીયન (Mahonian) સંખ્યાઓ દ્વારા અભિવ્યક્ત કરવામાં આવે છે, તે સંખ્યાના વધારામાં X k ના સહપરિણામદાયક છે.

\prod_{m=1}^n\sum_{i=0}^{m-1}X^i=1(1+X)(1+X+X^2)\cdots(1+X+X^2+\cdots+X^{n-1}),

જે ક્યુ-પરિબળ (q-factorial) [n ]q ! તરીકે પણ ઓળખવામાં (X માટે અવેજીમાં q સાથે) આવે છે.

પુનરાવર્તન વિના અનુક્રમો ગણવા[ફેરફાર કરો]

આ વિભાગમાં, S સમૂહનો k - ક્રમચય S ના k વિશિષ્ટ તત્વોના ક્રમમાં મૂકેલ અનુક્રમ છે. ઉદાહરણ તરીકે, અક્ષરોનો આપેલ સમૂહ (C, E, G, I, N, R) અનુક્રમ ICE એ 3 – ક્રમચય છે, RING અને RICE 4- ક્રમચયો છે, NICER અને REIGN 5- ક્રમચયો છે અને CRINGE 6 - ક્રમચય છે; તેથી પછી બધા અક્ષરો ઉપયોગ કરે છે, તે સામાન્ય સંયોજન અર્થમાં આપેલ સમૂહનો ક્રમચય છે. ENGINE બીજી તરફ પુનરાવર્તનો હોવાના કારણે ક્રમચય નથી: તે E અને N તત્વો બે વખત ઉપયોગ કરે છે.

n ને S નું કદ બનાવીએ, પસંદગી માટે સંખ્યાબંધ તત્વો ઉપલબ્ધ છે. k - ક્રમચય બનાવવામાં અનુક્રમમાં પ્રથમ તત્વ માટે n શક્ય પસંદગી છે, અને પછી આ સંખ્યાબંધ 1- ક્રમચયો છે. એક વખત તે પસંદ કરી લીધા પછી, n − 1 તેમાંથી પસંદ કરવા માટે S છોડવાના તત્વો છે, તેથી બીજું, તત્વ, શક્ય 2- ક્રમચયો કુલ n × (n − 1) આપતા, n − 1 માર્ગોમાં પસંદ કરી શકાય છે. પરિણામોના દરેક ક્રમાનુસારના તત્વ માટે, સંખ્યાબંધ શક્યતાઓ ઓછી થાય છે જે દ્વારા સંખ્યાબંધ

n × (n − 1) × (n − 2) ... × (nk + 1) શક્ય k -ક્રમચયો માટે દોરી થાય છે.

આ ચોક્કસ રીતે સંખ્યાબંધ n -ક્રમચયો આપે છે (જે એક વખત S ના બધા તત્વો ધરાવે છે અને તેથી સરળતાથી S ના ક્રમચયો છે):

n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1,

જે સંખ્યા ગણિતમાં વારંવાર જોવા મળે છે તે "n !" સઘન સંકેત આપવામાં આવે છે, અને "n ફેક્ટેરીયલ (factorial)" કહેવામાં આવે છે. આ n ક્રમચયો S ના તત્વોના પુનરાવર્તન વિના સૌથી લાંબા અનુક્રમો છે, જે એ હકિકત દ્વારા પ્રતિબિંબિત થાય છે કે સંખ્યાબંધ k – ક્રમચયો માટે ઉપરનું સૂત્ર જ્યારે k > n હોય છે ત્યારે શૂન્ય આપે છે.

n તત્વોના સમૂહના સંખ્યાબંધ k – ક્રમચયો P (n ,k ) અથવા સમાન સંકેત દ્વારા ચિહ્નથી દર્શાવવામાં આવે છે (સામાન્ય રીતે n તત્વોના સમૂહના સંખ્યાબંધ k – સંયોજનો માટે સંકેત દ્વારા સાંકળે છે જે "C " દ્વારા "P " બદલે છે). તે સંકેત k - ક્રમચયો ગણવા કરતા અન્ય સંદર્ભમાં ઉપયોગમાં લેવામાં આવે છે, પરંતુ આંકડા માટેની અભિવ્યક્તિ ઘણી અન્ય પરિસ્થિતિઓમાં ઉત્પન્ન થાય છે. n{/ થી શરુ થતા {0}k ઘટકોની સંખ્યા હોવાથી અને એકમ પગલાંઓ દ્વારા વધતા, તે n ના k -th ઘટતો કારણદર્શી શક્તિ કહેવામાં આવે છે:

n^{\underline k}=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times(n-k+1),

(પોકહેમર સિમ્બોલ) Pochhammer symbolવિગતો પ્રમાણે, જોકે ઘણા અન્ય નામો અને સંકેતો ઉપયોગમાં છે. જ્યારે 0}k ≤ n કારણદર્શી શક્તિ ઉમેરેલા ઘટકો દ્વારા પૂર્ણ કરી શકાય છે:n k  × (n  − k )! = n !, જે લેખિતમાં અનુમતિ આપે છે

n^{\underline k}=\frac{n!}{(n-k)!}.

જમણી બાજુ ઘણીવાર સંખ્યાબંધ k – ક્રમચયો માટે અભિવ્યક્તિ તરીકે આપવામાં આવે છે, પરંતુ તેનું મુખ્ય ગુણદોષની યાદી સંક્ષિપ્ત કારણદર્શી સંકેત ઉપયોગ કરી રહ્યા છે, વધુ વિશાળ સંખ્યાઓ સંભવિત રીતે ભાગાકાર તરીકે k ઘટકોની સંખ્યા અભિવ્યક્તિ કરતાં, ભાજકના બધા ઘટકો અપૂર્ણાંકના અંશમાં પણ સ્પષ્ટ રીતે હાજર હોય છે તે ખરેખર પૂરતાં નથી; કારણ કે ગણવાની પદ્ધતિમાં વધારે પડતો ભય અથવા સરભર ભૂલો છે. તે નોંધવું જોઇએ કે k > n અભિવ્યક્તિ અવ્યાખ્યાયિત છે, જ્યાં તે કિસ્સાઓમાં k - ક્રમચયોની સંખ્યા n k એ ફક્ત શૂન્ય 0 છે.

ગણતરીમાં ક્રમચયો[ફેરફાર કરો]

સંખ્યાકીય ક્રમચયો[ફેરફાર કરો]

n ના ક્રમચયોની રજૂઆત માટેનો એક માર્ગ 0 ≤ N < n ! સાથે પૂર્ણાંક N દ્વારા છે, જરૂરી સગવડભરી પદ્ધતિઓ આંકન અને અનુક્રમ તરીકે ક્રમચયની સામાન્ય રજૂઆત વચ્ચે બદલવા માટે આપવામાં આવે છે. આ મધ્યસ્થ ક્રમચયોની ખૂબ જ સંક્ષિપ્ત આપે છે. અને ગણતરીમાં તે ખાસ કરીને ત્યારે આકર્ષક છે જ્યારે n ઘણો નાનો હોય છે જેથી N યાંત્રિક શબ્દમાં હોઇ શકે છે, 32–બિટ શબ્દો માટે તેનો અર્થn ≤ 12 છે, અને 64-બિટ શબ્દો માટે તેનો અર્થ n ≤ 20 છે. પરિવર્તન d n , d n −1, ..., d 2, d 1 આંકડાઓના અનુક્રમના આંતરમધ્યસ્થ પ્રકાર દ્વારા કરી શકાય છે, જ્યાં d ii કરતાં ઓછો બિન નિષેધક (non negative વિધાયક) પૂર્ણાંક છે (d 1 રદ્દ કરી શકાય, કારણ તે હંમેશા 0 છે, પરંતું તેની હાજરી વર્ણવવા માટે ક્રમચયને વધુ સરળ બનાવવા માટે અનુગામી પરિવર્તન બનાવે છે). પછીનું પ્રથમ પગલું કારણદર્શી સંખ્યા વ્યવસ્થા માં N ની સરળ અભિવ્યક્તિ છે, જ્યાં n ! સંખ્યાઓ માટે જે ફક્ત ચોક્કસ ભેળસેળયુક્ત ગણતરીના મૂળતંત્રની રજૂઆત છે ક્રમાનુસાર અંકો માટેના પાયા n , n − 1, ..., 2, 1 છે. બીજું પગલું આ અનુક્રમને લેહમર આચારસંહિતા અથવા લગભગ સમાન રીતે) વ્યુત્ક્ર્મ કોષ્ટક તરીકે અર્થઘટન કરે છે.

રોથ ડાયેગ્રામ
\sigma=(6,3,8,1,4,9,7,2,5)
i   \ σ i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 લેહમર કોડ
1 × × × × × d 9 = 5
2 × × d 8 = 2
3 × × × × × d 7 = 5
4 d 6 = 0
5 × d 5 = 1
6 × × × d 4 = 3
7 × × d 3 = 2
8 d 2 = 0
9 d 1 = 0
વ્યસ્ત કોષ્ટક 3 6 1 2 4 0 2 0 0

σ ક્રમચય માટે લેહમર કોડ માં, સંખ્યા d n પ્રથમ પદ σ 1માટે બનાવેલ પસંદગી રજૂ કરે છે, સંખ્યા d n −1 બીજા પદ માટે બનાવેલ પસંદગી રજૂ કરે છે સમૂહના બાકીના n − 1તત્વોમાંથી σ 1 અને તે જ રીતે આગળ. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, દરેક d n +1−i પદ σ i કરતાં ઓછાં અસંદિગ્ધ રીતે સંખ્યાબંધ બાકીના તત્વો આપે છે. તે બાકીના તત્વો કેટલાક પછીના પદ σ j તરીકે અચાનક મળી આવવાથી તૈયાર હોવાથી, અંક d n +1−i વધુ નાના ઘાત ચિહ્ન (સંખ્યાબંધ મૂલ્યો j જેના માટે j < i < j અને σ i > σ j ) તરીકે i ને સમાવતા વ્યુ‍ત્ક્રમ (i ,j ) ગણે છે). σ માટે વ્યુત્ક્રમ કોષ્ટક એ થોડું સમાન છે, પરંતુ અહીં d n +1−k સંખ્યાબંધ વ્યુત્ક્રમો (i ,j )ગણે છે, જ્યાં k = σ j ઉલટાવેલ ક્રમોમાં જોવા મળતા બે મૂલ્યોના વધુ નાના પ્રકાર તરીકે જોવા મળે છે.[૬] બંને સંકેતમાં પરિવર્તનો n પ્રતિ n રોથ ડાયેગ્રામ [૭] દ્વારા જોઇ શકાય છે, જેમાં ક્રમચયની નોંધણીઓ બિંદુઓથી (i ,σ i ) નિશાની કરે છે, અને વિપરીતથી (i ,σ j ) વ્યુત્ક્રમ (i ,j )ની નિશાની કરે છે; વ્યુત્ક્ર્મોની વ્યાખ્યા દ્વારા કોઇપણ ચોરસમાં જોવા મળે છે જે તેના સ્તં‍ભમાં બિંદુ (j ,σ j ) પહેલાં અને તેની હરોળમાં બિંદુ (i ,σ i ) પહેલાં બંને આવે છે. લેહમર કોડમાં ક્રમાનુસાર હરોળમાં સંખ્યાબંધ વિપરિતોની યાદી બને છે, જ્યારે વ્યુત્ક્રમિત કોષ્ટકમાં ક્રમાનુસાર સ્તંભોમાં સંખ્યાબંધ વિપરીતોની યાદી બને છે, એ લેહમર કોડ છે જે વ્યુત્ક્રમ ક્રમચય માટે છે, અને વિપરીત રીતે પણ તેમ જ છે.

ક્રમમાં ગોઠવેલ સમૂહ રીતે S ના ક્રમચયમાં લેહમર કોડ 0}dn , d n −1, ..., d 2, d 1ને અસરકારક રીતે બદલવા માટે વધતા ક્રમમાં S ના તત્વોની યાદી સાથે શરુ કરી શકે છે અને યાદીમાં તત્વ માટે n સમૂહ σ i માટે 1 માંથી વધતા i માટે જે d n +1−i અન્ય એક દ્વારા આગળ લાવવામાં આવે છે, અને યાદીમાંથી તે તત્વ દૂર થાય છે. વ્‍યુત્‍ક્રમ કોષ્‍ટક d n , d n −1, ..., d 2, d 1 ને સુસંગત ક્રમચયમાં બદલવા માટે જ્યારે શરૂઆતના ખાલી અનુક્રમમાં સૌથી વધુ નાનામાંથી મોટામાં S ના તત્‍વો દાખલ કરતાં d 1માંથી d n આંકડાઓ વધારી શકાય છે; વ્‍યુત્‍ક્રમ કોષ્‍ટકમાંથી આંકડો d નો ઉપયોગ કરતાં પગલે, બિંદુએ અનુક્રમમાં દાખલ કરેલ S માંથી તત્‍વ જ્યાં તે પહેલેથી હાજર છે તેવા d તત્‍વો દ્વારા આગળ લાવવામાં આવે છે. વૈકલ્પ‍િક રીતે ઉમેરેલા કોષ્‍ટકમાંથી આંકડાઓ અને S ના તત્‍વો બંનેમાં વિરોધી ક્રમમાં n ના ખાલી slots ની હરોળ સાથે શરુ કરતાં, અને દરેક પગલું ખાલી જગ્યામાં S માંથી તત્‍વને સ્‍થાન આપે છે તે d ના અન્‍ય જગ્યાઓ દ્વારા આગળ લાવવામાં આવે છે.

કારણદર્શી સંખ્યા વ્યવસ્થા ક્રમાનુસાર કુદરતી આંકડાઓ બદલવા શબ્‍દકોશ પ્રકારના ક્રમમાં (કોઇપણ ભેળસેળ કરેલા મૂળ આંકડાતંત્ર સાથેનો કિસ્‍સો હોવાથી) તે ક્રમચયોમાં અનુક્રમો ઉત્‍પન્‍ન કરવામાં આવે છે, અને આગળ તેમને ક્રમચયોમાં બદલાતા શબ્‍દકોશ પ્રકારનો ક્રમ જાળવી રાખે છે, જરૂરી છે કે લેહમર કોડ અર્થઘટનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે (વ્‍યુત્‍ક્રમ કોષ્‍ટકનો ઉપયોગ કરી, વિવિધ ક્રમો મેળવે છે, જ્યાં તેઓની પ્રથમ નોંધોના મૂલ્‍યો દ્વારા કરવા કરતાં તેઓની 1 નોંધોના સ્‍થાન દ્વારા ક્રમચયોની સરખામણી દ્વારા રદ્દ કરે છે). કારણદર્શી સંખ્યા વ્યવસ્થા રજૂઆતમાં આંકડાઓના દાખલા ક્રમચયના સંખ્‍યાબંધ વ્‍યુત્‍ક્રમો આપે છે, અને તે દાખલાની એકરૂપતા સરખામણી ક્રમચયની સહી આપે છે. વધુમાં, વ્યુત્ક્રમ કોષ્ટકમાં શૂન્યોની સ્થિતિઓ ક્રમચયના ડાબેથી જમણે સૌથી વધુ મૂલ્યો આપે છે (દા.ત. 6,8,9) જ્યારે લેહમર કોડમાં શૂન્યોની સ્થિતિઓ જમણેથી ડાબે સૌથી ઓછા મૂલ્યો છે (દા.ત. 1,2,5 મૂલ્યોમાં 4, 8, 9 ની સ્થિતિઓ); તમામ ક્રમચયોમાં આ પ્રકારના અંતિમ વહેંચણી ગણવાની મંજૂરી આપે છે. લેહમર કોડ d n , d n −1, ..., d 2, d 1 સાથે ક્રમચયને જો ફક્તને ફક્તdidi+1 છે તો ચઢતો ક્રમni છે.

ક્રમચયો તૈયાર કરવા માટે ગણનાઓ[ફેરફાર કરો]

ગણતરીમાં મૂલ્યોના આપેલ અનુક્રમોના ક્રમચય તૈયાર કરવા તે જરૂરી હોઇ શકે છે. આ કરવા માટે સૌથી સારી અપનાવેલી પદ્ધતિઓ એ ઉપર આધારિત છે કે કોઇ કેટલાક, યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલા, ક્રમચયો કે બધા ક્રમચય ઇચ્છે છે અને પછીના કિસ્સાઓમાં જો વિશિષ્ટ ક્રમ જરૂરી હોય. અન્ય પ્રશ્ન એ છે કે જો આપેલ અનુક્રમમાં નોંધોમાંથી શક્ય સમાનતા છે તો તે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે કે કેમ; જો આમ હોય, તો ફક્ત અનુક્રમના સ્પષ્ટ બહુવિધ સમૂહ ક્રમચયો કોઇએ ઉત્પન્ન કરવા જોઇએ.

n ના ક્રમચયોને તૈયાર કરવા માટેનો ચોક્કસ માર્ગ લેહમર કોડ માટે મૂલ્યો તૈયાર કરવા માટે છે (શક્ય રીતે n! થી ઉપરના પૂર્ણાંકોના કારણદર્શી સંખ્યા વ્યવસ્થા રજૂઆત n ! સુધી વાપરવા) અને તેમને સુસંગત ક્રમચયોમાં બદલે છે. જો કે પછીનું પગથિયું જ્યારે સરળ રીતે, અપેક્ષીત રીતે અમલમાં મૂકવું અઘરું છે, કારણ કે તે મધ્યસ્થીની સ્થિતિએ, તેમાંથી છેકછાક અને અનુક્રમમાંથી પસંદગીના દરેક n પ્રક્રિયાઓ જરૂરી છે; અનુક્રમની નિશ્ચિત રજૂઆતોની વ્યુહરચના તરીકે અથવા સંકળાયેલી યાદી તરીકે બંનેને (ભિન્નન કારણો માટે) પરિવર્તન કરવા માટે n 2/4 વિશે જરૂર છે. નાનું બનાવવા કરતાં n સાથે સંભવિતતા (ખાસ કરીને જો બધા ક્રમચયોનું સર્જન જરૂરી છે) બહુ વધારે સમસ્યાયુક્ત નથી, પરંતુ તે તારણ આપે છે કે યાદચ્છિક અને વ્યવસ્થિત સર્જન બંને માટે સરળ વિકલ્પો છે જે ધ્યાનપૂર્વક રીતે વધુ સારું કરે છે. આ કારણો માટે તે ઉપયોગી લાગતું નથી. જોકે ચોક્કસ રીતે વિશિષ્ટ માહિતી સંરચના કાર્યરત કરવા માટે શક્ય છે કે ''O'' (''n'' લોગ ''n'' ) સમયમાં લેહમર કોડથી ક્રમચય પરિવર્તન કરવાની મંજુરી આપે છે.

ક્રમચયોનું યાદચ્છિક સર્જન[ફેરફાર કરો]

n મૂલ્યોના આપેલ અનુક્રમના યાદચ્છિક ક્રમચયો ઉત્પન્ન કરવા માટે, જો અનુક્રમ માટે n ના યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ ક્રમચય અમલ કરવાનો અથવા અનુક્રમના સ્પષ્ટ (બહુવિધ સમૂહ) ક્રમચયોના સમૂહમાંથી યાદચ્છિક તત્વ પસંદ કરવાનો અર્થ છે, છતાં તે કોઇ તફાવત બતાવતો નથી. આ માટેનું કારણ છે, જોકે પુનરાવર્તીત મૂલ્યોના કિસ્સામાં n ના ઘણા સ્પષ્ટ ક્રમચયો બની શકે છે જે સમાન ક્રમચયયુક્ત અનુક્રમમાં પરિણમે માટે સમાન છે, આ પ્રકારના ક્રમચયોની સંખ્યા દરેક સંભવિત પરિણામ માટે સમાન હોય છે. વ્યવસ્થિત સર્જન માટે વિરોધમાં, જેn ! સંખ્યાની વૃદ્ધિને કારણે વિશાળ n માટે અશક્ય બને છે, માનવા માટેનું કોઇ કારણ નથી કે n યાદચ્છિક સર્જન માટે નાનો હશે.

n ! યાદચ્છિક ક્રમચય ઉત્પન્ન કરવા માટે પાયાના વિચારને સંતોષવા પૂર્ણાંકો d 1,d 2,...,d n સંતોષતા0 ≤ di < i અનુક્રમોમાંના એક યાદચ્છિક રીતે ઉત્પન્ન કરવા માટે છે. (કારણ કે, d 1 હંમેશા શૂન્ય હોવાથી તે બાકાત રાખી શકાય) અને બાયજેક્ટીવ(bijective) સુસંગતતા દ્વારા ક્રમચય માટે તે બદલવા માટે છે. પછીની સુસંગતતા માટે ‍ લેહમર કોડ તરીકે (ઉલટા) અનુક્રમ અર્થઘટિત કરી શકે છે, અને આ રોનાલ્ડ એ. ફીશર અને ફ્રેંક યેટ્સ દ્વારા 1938 માં પ્રથમ પ્રકાશિત થયેલ સર્જન પદ્ધતિ આપે છે.[૮] જ્યારે એક સમયે કોમ્પ્યુટર અમલીકરણ અસ્તિત્વમાં ન હતું, આ પદ્ધતિ યોગ્ય રીતે ક્રમચય માટેની લેહમર કોડમાંથી બદલવા માટે પહેલાં વર્ણવેલી બાબતો મુશ્કેલીમાંથી ભોગવે છે. આ વિવિધ બાયજેક્ટીવ (bijective) સુસંગતતા વાપરવાથી સુધારી શકાય છે: એક સ્થાને આગળના તત્વો નીચે બદલવાથી સંક્ષિપ્ત કરેલા અનુક્રમ અને તત્વો દૂર કરવા કરતાં, અનુક્રમ (i ના ઘટતા મૂલ્યો માટે) ના તત્વો બાકી રહેલાં i માંથી તત્વ પસંદ કરવા માટે di વાપર્યા પછી, અંતિમ બાકી રહેલ તત્વ સાથે તત્વ અદલાબદલી થાય છે. આમતેથી પસંદગી માટે બાકી રહેલ તત્વો સમયસર દરેક બિંદુ માટે અનુક્રમિક ક્ષેત્ર બનાવે છે, તેમ છતાં તેઓ એ મૂળ અનુક્રમમાં કરતાં હોવાથી સમાન ક્રમમાં જોવા મળી શકે નહીં. ક્રમચયો માટે પૂર્ણાંકોના અનુક્રમમાંથી રચના કરવી એ થોડું અઘરું છે, પરંતુ તે એક તાત્કાલિક અનુમાન દ્વારા ચોક્કસ એક રીતે દરેક ક્રમચય તૈયાર કરવા માટે જોઇ શકાય છે. જ્યારે પસંદ કરેલ તત્વ અંતિમ બાકી રહેલ તત્વ બનાવે છે, ત્યારે અદલાબદલીની પ્રક્રિયા બાકાત કરી શકાય છે. આ પરિસ્થિતિ માટે પરીક્ષણ કરવાના અંતિમ તત્વની ખાતરી આપવા માટે વારંવાર પર્યાપ્ત થતુ નથી, બધા ક્રમચયો ઉત્પન્ન કરી શકાય છે, પરંતુ પસંદગીના પાત્રોમાં સમાયેલા હોવા જ જોઇએ.

a [0], a [1], ..., a [n − 1] ના યાદચ્છિક ક્રમચય ઉત્પન્નપ કરવા માટે પરિણમતી ગણતરી ખોટા કોડ નીચે મુજબ વર્ણન કરી શકાય:

n માંથી i માટે નીચે 2
di ← { 0, ..., {1}i − 1 } નું યાદચ્છિક તત્વ કરો
swap a [di ] and a [i − 1]

બધા ક્રમચયોનું વ્યવસ્થિત સર્જન[ફેરફાર કરો]

આપેલ અનુક્રમોનો બધા ક્રમચયો વ્યવસ્થિત રીતે ઉત્પન્ન કરવા માટે ઘણા માર્ગો છે, નુથ ધી આર્ટ ઓફ કોમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામીંગ (The Art of Computer Programing) ના ભાવિ ગ્રંથના આવશ્યક વિભાગનું વર્ણન કરે છે.[૯] એક ઉત્તમ ગણતરી, જે સરળ અને લવચીક બંને છે, જો તે અસ્તિત્વ ધરાવે છે તો તે શબ્દકોશ ક્રમમાં પછીના ક્રમચય શોધવા પર આધારિત છે. તે પુનરાવર્તિત મૂલ્યોનું ધ્યાન રાખી શકે છે, જે કિસ્સા માટે તે દરેક વખતે સ્પષ્ટ બહુવિધ સમુહ ક્રમચયો ઉત્પન્ન કરે છે. સામાન્ય ક્રમચયો માટે પણ તે શબ્દકોશ ક્રમમાં (શક્ય રીતે વપરાતી કારણદર્શીય સંખ્યા પદ્ધતિ) લેહમર કોડ માટે મૂલ્યો ઉત્પન્ન કરવા કરતાં અર્થસભર રીતે વધુ કાર્યક્ષમ છે. તેનો ઉપયોગ માટે, (અઠવાડિયે) વધતા ક્રમમાં (જે તેને ઉપયોગમાં લેવા ઓછાં ક્રમચય આપે છે) અનુક્રમ વર્ગીકૃત કરવાથી શરૂ થાય છે, અને પછી એક શોધવામાં આવ્યાં છે તેટલાં જ લાંબા પછીના ક્રમચય માટે પ્રગતિનું પુનરાવર્તન કરે છે. પદ્ધતિ ભારતની 14 મી સદીમાં નારાયણ પંડિત પ્રમાણે પાછળ ગઇ, અને વારંવાર હંમેશા પુનઃશોધ પામી છે.[૯]

નીચેની ગણતરી આપેલા ક્રમચય પછી આગળના શબ્દણકોશની રીતે ક્રમચય ઉત્પન્ન કરે છે. તે સ્થાનમાં આપેલ ક્રમચય બદલે છે.

  1. વિશાળ ઘાતચિહ્ન k જેવી શોધો a[k] < a[k + 1]. જો આવી કોઇ ઘા‍તચિહ્ન અસ્તિત્વ ધરાવતી ન હોય, તો ક્રમચય છેલ્લું ક્રમચય છે.
  2. વિશાળ ઘાતચિહ્ન l જેવી શોધો a[k] < a[l]. આવું ઘાતચિહ્ન હોવાથીk + 1, l ને સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને સંતોષ આપે છેk < l.
  3. a [k ] સાથે a [l ] ની અદલાબદલી કરો.
  4. અંતિમ તત્વ a [n ] સમાવતા a [k + 1] થી અનુક્રમ બદલો.

પગથિયા 1 પછી, કોઇ જણે છે કે k ના સ્થાએ પછી કડક રીતે બધા તત્વો અઠવાડિયે ઘટતાં અનુક્રમ બનાવે છે, તેથી આ તત્વોનું ક્રમચય શબ્દકોશ ક્રમમાં તેને આગળ વધારશે નહીં; આગળ વધારવા માટે a [k ] વધારવા જ જોઇએ. પગથિયું 2 a [k ] દ્વારા બદલવા માટે સૌથી નાનું મૂલ્ય a [l ]શોધે છે, પગથિયાં 3 માં તેની અદલાબદલી અઠવાડિક ઘટતાં ક્રમમાં સ્થાન k પછી અનુક્રમ છોડે છે. પગથિયાં 4 માં આ અનુક્રમ ઉલટાવ્યા પછી તેના શબ્દ‍કોશ આધારે સૌથી નાનો ક્રમચય બનાવે છે, અને સમગ્ર અનુક્રમ માટે શરૂઆતના સ્થાનના શબ્દકોશની રીતે ક્રમાનુસાર બનાવે છે.

સોફટવેર અમલીકરણ[ફેરફાર કરો]

કેલ્ક્યુલેટર પ્રક્રિયાઓ[ફેરફાર કરો]

ઘણા વૈજ્ઞાનિક કેલ્ક્યુલેટર ઘણા પર nPr અથવા PERM કહેવાતી સંખ્યાબંધ k - ક્રમચયો ગણવા માટે વિકસેલી પ્રક્રિયા છે. ક્રમચયોની પ્રક્રિયા ઘણીવાર ફક્ત પત્રકોના સ્તરો દ્વારા જ ઉપલબ્ધ છેઃ પ્રક્રિયાને કાર્યરત કેવી રીતે કરવી તે સામાન્ય રીતે કેલ્ક્યુલેટર માટેના દસ્તાવવેજીકરણમાં દર્શાવવામાં આવે છે જે તેને સહાય કરે છે.

સ્પ્રેડશીટ પ્રક્રિયાઓ[ફેરફાર કરો]

ઘણાં સ્પ્રેડશીટ સોફ્ટવેર પણ ઘણી પ્રચલિત સ્પ્રેડશીટ PREMUT તરીકે ઓળખાતી n ના સંખ્યાણબંધ k -ક્રમચયો ગણવા માટે વિકસેલી પ્રક્રિયા પૂરી પાડે છે. નોંધનીય રીતે એપલનું Numbers '08 સોફટવેર આવી પ્રક્રિયાઓ સમાવતી નથી પરંતુ આ એપલનું Numbers '09 સોફ્ટવેર પેકેજમાં સુધારવામાં આવ્યું છે.

ઉપયોગો[ફેરફાર કરો]

ક્રમચયો ટર્બો કોડ્ઝ જેવા ભૂલની શોધ અને સુધારાની ગણતરીના ઇન્ટરલીવર (interleaver) તત્વોમાં ઉપયોગમાં લેવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે 3GPP Long Term Evolution મોબાઇલ ટેલીકોમ્યુનિકેશન સ્ટાન્ડર્ડ આ વિચારોનો (3GPP technical specification 36.212 [૧૦] જુઓ) ઉપયોગ કરે છે. આવા અમલીકરણો કેટલીક ઇચ્છનીય મૂલ્યો સંપત્તિઓ સંતોષવા ક્રમચયના ઝડપી સર્જનના પ્રશ્નો ઉભા કરે છે. પદ્ધતિઓમાંની એક પોલીનોમીયલ્સ (polynomials) ક્રમચય પર આધારિત છે.

આ પણ જુઓ[ફેરફાર કરો]

Script error: No such module "Portal".

નોંધ[ફેરફાર કરો]

  1. એન. એલ. બિગ્સ, ધી રુટ્સ ઓફ કોમ્બીનેટોરીક્સ (The roots of combinatorics) , હિસ્ટોરીયા મેથ. 6 (1979) 109−136
  2. ઢાંચો:Google books quote.
  3. કોમ્બીનેટોરીક્સ ઓફ પર્મ્યુટેશન્સ (Combinatorics of Permutations), ISBN 1-58488-434-7, એમ. બોના, 2004, પૃ. 3f
  4. કોમ્બીનેટોરીક્સ ઓફ પર્મ્યુટેશન્સ (Combinatorics of Permutations), ISBN 1-58488-434-7, એમ. બોના, 2004, પૃ. 4f
  5. કોમ્બીનેટોરીક્સ ઓફ પર્મ્યુટેશન્સ (Combinatorics of Permutations), ISBN 1-58488-434-7, એમ. બોના, 2004, પૃ. 43
  6. ૬.૦ ૬.૧ ડિ. ઇ. નુથ, ધી આર્ટ ઓફ કોમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામિંગ(The Art of Computer Programming) , વો 3, વહેચણી અને શોધ, એડિસન -વેસ્લી (1973), પૃ. 12. આ પુસ્તક, બે અન્ય ભિન્નતાઓ સાથે, લેહમર કોડને (નામના ‍ઉપયોગ વિના) વિભાગ 5.1.1−7 (પૃ. 19) માં અદલાબદલી કોષ્ટકની C 1,...,C n ભિન્નતા તરીકે વર્ણન કરે છે.
  7. H. A. Rothe, Sammlung combinatorisch-analytischer Abhandlungen 2 (Leipzig, 1800), 263−305. Cited in [૬], p. 14.
  8. Fisher, R.A.; Yates, F. (1948) [1938]. Statistical tables for biological, agricultural and medical research (3rd ed.). London: Oliver & Boyd. pp. 26–27. OCLC 14222135 ..
  9. ૯.૦ ૯.૧ Knuth, D. E. (2005). "Generating All Tuples and Permutations". The Art of Computer Programming. 4, Fascicle 2. Addison-Wesley. pp. 1–26. ISBN 0-201-85393-0 ..
  10. 3GPP TS 36.212

સંદર્ભો[ફેરફાર કરો]

  • માઇક્લોસ બોના. "કોમ્બીનેટોરીક્સ ઓફ પર્મ્યુટેશન્સ (Combinatorics of Permutations)", ચેપમેન - હોલ -CRC, 2004. આઇએસબીએન ૮૧-૭૩૦૪-૦૨૫-૭
  • ડોનાલ્ડ નુથ . ધી આર્ટ ઓફ કોમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામિંગ (The Art of Computer Programming) , વોલ્યુમ 4: જનરેટીંગ ઓલ ટ્યુપલ્સ એન્ડ પર્મ્યુટેશન્સ (Generating All Tuples and Permutations) , ફેસાઇલ  2, પ્રથમ પ્રીન્ટીંગ. એડીસન-વેસ્લે, 2005. ISBN 80-85905-48-5
  • ડોનાલ્ડ નુથ. ધી આર્ટ ઓફ કોમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામિંગ (The Art of Computer Programming) , વોલ્યુમ 3: વહેચણી અને શોધ , દ્વિતીય આવૃત્તિ. એડિસન-વેસ્લે, 1998. ISBN 80-85905-48-5 વિભાગ 5.1: કોમ્બીનેટરીયલ પ્રોપર્ટીઝ ઓફ પર્મ્યુટેશન્સ (Combinatorial Properties of Permutations), pp. 11–72.
  • Humphreys, J. F.. એ કોર્સ ઇન ગ્રુપ થિયરી (A course in group theory) . ઓક્સફોર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ , 2001. આઇએસબીએન 0803959125.